[論文レビュー] $\mathsf{LLF}_{\cal P}$: a logical framework for modeling external evidence, side conditions, and proof irrelevance using monads

Furio Honsell, Luigi Liquori+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2017

Logic, programming, and type systems参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、外部証拠、副作用条項、証明の無関係性をモデル化するために『ロック』と呼ばれる単項的・述語インデックス型コンストラクタを用いる、論理フレームワーク（LF）の保守的拡張であるLLFPを提案する。モノイド的構造と新規のアンロックデストラクタを活用することで、等式的推論を簡素化し、型理論的証明システムにおいてオラクルと非アポディクティック証拠を一貫性を持った形式的検証付きで統合可能にする。

ABSTRACT

We extend the constructive dependent type theory of the Logical Framework $\mathsf{LF}$ with monadic, dependent type constructors indexed with predicates over judgements, called Locks. These monads capture various possible proof attitudes in establishing the judgment of the object logic encoded by an $\mathsf{LF}$ type. Standard examples are factoring-out the verification of a constraint or delegating it to an external oracle, or supplying some non-apodictic epistemic evidence, or simply discarding the proof witness of a precondition deeming it irrelevant. This new framework, called Lax Logical Framework, $\mathsf{LLF}_{\cal P}$, is a conservative extension of $\mathsf{LF}$, and hence it is the appropriate metalanguage for dealing formally with side-conditions in rules or external evidence in logical systems. $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ arises once the monadic nature of the lock type-constructor, ${\cal L}^{\cal P}_{M,σ}[\cdot]$, introduced by the authors in a series of papers, together with Marina Lenisa, is fully exploited. The nature of the lock monads permits to utilize the very Lock destructor, ${\cal U}^{\cal P}_{M,σ}[\cdot]$, in place of Moggi's monadic $let_T$, thus simplifying the equational theory. The rules for ${\cal U}^{\cal P}_{M,σ}[\cdot]$ permit also the removal of the monad once the constraint is satisfied. We derive the meta-theory of $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ by a novel indirect method based on the encoding of $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ in $\mathsf{LF}$. We discuss encodings in $\mathsf{LLF}_{\cal P}$ of call-by-value $λ$-calculi, Hoare's Logic, and Fitch-Prawitz Naive Set Theory.

研究の動機と目的

• 論理的体系における外部証拠および副作用条項を形式的・型理論的枠組みでモデル化すること。
• 構成的型理論的メタ言語内での証明の無関係性および非アポディクティックな認識的出所（例：図式、計算）の課題に対処すること。
• オラクルや非アポディクティック証拠を含む証明システムにおける等式的推論を簡素化するため、MoggiのletTを直接的なアンロックデストラクタに置き換えること。
• オラクルをサポートするモジュラーやモジュラーに拡張可能な証明システムを備えた、LFの保守的拡張を確立すること。
• 異種の推論文化（計算的証拠や図式的推論に依存するものも含む）を含む証明の形式的検証を可能にすること。

提案手法

• LFの judgement における述語Pに基づくインデックス化された単項的型コンストラクタLP_M,σ[·]を導入し、証明検証の延期または委譲の概念を捉える。
• 制約P(Γ ⊢Σ M : σ)が満たされた段階でモノイド的世界から脱出するためのロックデストラクタUP_M,σ[·]を採用し、MoggiのletTを置き換え、等式的理論を簡素化する。
• ロックモナドを単集合構成としてモデル化することで、アンロック操作と証明の証拠抽出との間の直接的な対応関係を実現する。
• LLFPの完全なシステムをLFにエンコードすることで、コンfluence、強正規化、および主題還元といったメタ理論的性質をLFからLLFPに移譲する。
• 第一原理からの直接的証明を避けるために、LLFPのメタ理論をLFにエンコードする新規な間接的手法を用いる。
• フレームワークを用いて値呼び渡しのλ計算、ホア論理、フィッチ＝プロワッツのナーブル集合論をエンコードし、表現力と一貫性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部証拠および副作用条項は、LFのような構成的型理論的メタ言語内でどのように一貫してモデル化可能か？
• RQ2 オラクルや非アポディクティック証拠を含む証明システムにおいて、単項的型コンストラクタを用いて等式的推論を簡素化できるか？
• RQ3 証明の存在のみが重要となる証明の無関係性は、型システム内でどのように形式的に捉えられるか？
• RQ4 このような拡張システムのメタ理論的基盤は何か、そして保守的エンコードによってどのように確立されるか？
• RQ5 このフレームワークは、計算的証拠や図式的推論を含む多様な証明文化を、一つの形式的体系内でサポートできるか？

主な発見

• LLFPはLFの保守的拡張であり、LFが有するすべてのメタ理論的性質（コンフラエンス、強正規化、主題還元など）がLLFPに引き継がれることを保証する。
• MoggiのletTに代えてロックデストラクタUP_M,σ[·]を用いることで、順序交換還元（permutative reductions）が排除され、等式的理論が著しく簡素化される。
• LLFPをLFにエンコードすることで、LFからLLFPへのメタ理論的性質の移譲が可能となり、新規かつ強力な証明技法が得られる。
• フレームワークは、値呼び渡しのλ計算、ホア論理、フィッチ＝プロワッツのナーブル集合論といった複雑な体系を成功裏にエンコードし、その表現力を示している。
• 述語Fitch(Γ ⊢FPST ⟨x,y⟩ : T(A)×V(A)→T(B))は適切に動作し、適切にスコープが管理された自由変数を有する正規化可能な証明のみを受け入れることを保証する。
• 論文は、ロック内で変数を束縛し、アンロックによってオラクルが提供する証拠でそれらをインスタンス化することで、証拠を返すオラクル呼び出しをLLFPに拡張する道筋を示唆している。