[論文レビュー] Matrix weighted Poincaré inequalities and applications to degenerate elliptic systems

Joshua Isralowitz, Kabe Moen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、行列 $A_p$ 重みによって制御される退化楕円型方程式系に対して、行列重み付き Poincaré 不等式および Sobolev 不等式を確立し、Fabes, Kenig, Serapioni の古典的結果を拡張する。弱解の存在、正則性、Hölder連続性を証明するとともに、行列重み付き $L^p$ 空間における Riesz 及び分数的 maximal 演算子の有界性を示し、完全な行列 $A_{p,q}$ 理論を構築する。

ABSTRACT

We prove Poincaré and Sobolev inequalities in matrix A${}_p$ weighted spaces. We then use these Poincaré inequalities to prove existence and regularity results for degenerate systems of elliptic equations whose degeneracy is governed by a matrix A${}_p$ weight. Such results parallel earlier results by Fabes, Kenig, and Serapioni for a single degenerate equation governed by a scalar A${}_p$ weight. In addition, we prove Cacciopoli and reverse Hölder inequalities for weak solutions of the degenerate systems. As a means to prove the Poincaré inequalities we prove that the Riesz potential and fractional maximal function operators are bounded on matrix weighted $L^p$ spaces and go on to develop an entire matrix A${}_{p, q}$ theory.

研究の動機と目的

• 行列 $A_p$ 重みを用いた退化楕円型方程式系への古典的 Poincaré 不等式および Sobolev 不等式の拡張。
• このような系における弱解の存在および Hölder 連続性の確立。
• 重み付き $L^p$ 空間における Riesz 及び分数的 maximal 演算子のための包括的な行列 $A_{p,q}$ 理論の構築。
• Fabes, Kenig, Serapioni のスカラー $A_p$ 結果を $n \neq d$ の行列重み付き系に一般化する。

提案手法

• 行列 $A_p$ 条件を用いて、$\vec{f} \in C_0^1(Q)$ に対して、特性 $[W]_{A_p}$ に鋭い依存関係を示す行列重み付き Poincaré 不等式を証明する。
• $duality$ および $extrapolation$ 技法を用いて、$L^p(W)$ 空間における行列重み付き Sobolev 不等式を確立する。
• Cacciòpeli 不等式および逆 Meyers-Hölder 不等式を用いて、退化系における勾配および解のノルムを制御する。
• 行列 $A_p$ 条件を用いて、$L^p(W)$ 上での Riesz 作用素および分数的 maximal 演算子の有界性を証明する。
• 重み付きノルム不等式を用いて、退化系の弱解に対する a priori 評価を導出する。
• スカラー重み付き結果を行列重みに拡張することで、完全な行列 $A_{p,q}$ 理論を構築し、鋭い作用素ノルムを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スカラー重みではなく行列 $A_p$ 重みを用いた退化楕円型方程式系に対して、Poincaré 不等式および Sobolev 不等式を拡張できるか。
• RQ2 このような行列重み付き退化系の弱解は Hölder 連続性を示すか。もし示すならば、どのような条件下でか。
• RQ3 Riesz 作用素および分数的 maximal 演算子は行列重み付き $L^p$ 空間上で有界であるか。また、その作用素ノルムは $[W]_{A_p}$ の関数としてどのように表されるか。
• RQ4 スカラーの場合に類似した完全な $A_{p,q}$ 理論を行列重みに対して構築できるか。
• RQ5 Poincaré 定数の行列 $A_p$ 特性 $[W]_{A_p}$ への鋭い依存関係は何か。

主な発見

• すべての $1 < p < ∞$ に対して、$\epsilon \approx [W]_{A_p}^{-\max\{1, p'/p\}}$ および $C \approx [W]_{A_p}^{\max\{1+2p'/p, 2+p'/p\}}$ が存在し、行列重み付き Poincaré 不等式が成り立つ： $\left(\frac{1}{|Q|}\int_Q |W^{1/p}(x)\vec{f}(x)|^{p+\epsilon}\,dx\right)^{1/(p+\epsilon)} \lesssim |Q|^{1/d} \left(\int_Q \|W^{1/p}(x)D\vec{f}(x)\|^{p-\epsilon}\,dx\right)^{1/(p-\epsilon)}$。
• 弱解 $\vec{u}$ に対して Cacciòpeli 不等式が成り立つ： $\int_{B_r} \|W^{1/p} D\vec{u}\|^p \,dx \lesssim \int_{B_r} \|W^{-1/p} F\|^{p'} \,dx + \frac{1}{r^p} \int_{B_r \setminus B_{r/2}} |W^{1/p} \vec{u}|^p \,dx$。
• 逆 Meyers-Hölder 不等式が証明され、$\|W^{1/p} D\vec{u}\|_{L^p(B_{r/2})} \lesssim \|W^{-1/p} F\|_{L^{p'}(B_r)} + \|W^{1/p} D\vec{u}\|_{L^{p-\epsilon}(B_r)}$ が成り立つ。
• 行列 $A_p$ 重み $W$ に対して、Riesz 作用素および分数的 maximal 演算子は $L^p(W)$ 上で有界であり、作用素ノルムは $[W]_{A_p}$ に依存する。
• 弱解の Hölder 連続性が確立された：$p \geq d$ のとき、$|\vec{u}(x) - \vec{u}(y)| \lesssim C_{x,y} R^{-d(2-1/p)\epsilon} |x-y|^{1/d - 1/p + \epsilon}$ が成り立ち、$C_{x,y}$ は $W^{-1/p}$ の局所 $L^{p'}$ ノルムに依存する。
• 完全な行列 $A_{p,q}$ 理論が構築され、スカラー重み付き結果を行列重みに一般化し、鋭い作用素ノルムおよび $extrapolation$ 原理を含む。