[論文レビュー] Maupertius principle, Wheeler's superspace and an invariant criterion for local instability in general relativity

Marek Biesiada, Svend E. Rugh|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 1994

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、マペルトゥアスの原理を用いて時空力学をリーマン多様体上の測地線流として定式化することにより、一般相対性理論における局所的不安定性のゲージ不変基準を提案する。曲率不変量、特にリッチスカラーを分析することで、負のリッチスカラー値が局所的不安定性を示すことが示され、この基準はグローバルなカオス的振る舞いを予測できないことが判明する。

ABSTRACT

It is tempting to raise the issue of (metric) chaos in general relativity since the Einstein equations are a set of highly nonlinear equations which may exhibit dynamically very complicated solutions for the space-time metric. However, in general relativity it is not easy to construct indicators of chaos which are gauge-invariant. Therefore it is reasonable to start by investigating - at first - the possibility of a gauge-invariant description of local instability. In this paper we examine an approach which aims at describing the dynamics in purely geometrical terms. The dynamics is formulated as a geodesic flow through the Maupertuis principle and a criterion for local instability of the trajectories may be set up in terms of curvature invariants (e.g. the Ricci scalar) of the manifold on which geodesic flow is generated. We discuss the relation of such a criterion for local instability (negativity of the Ricci scalar) to a more standard criterion for local instability and we emphasize that no inferences can be made about global chaotic behavior from such local criteria.

研究の動機と目的

• 座標依存の指標に依存しない、一般相対性理論における局所的不安定性のゲージ不変な記述を構築すること。
• 微分同相変換に対して不変性を欠く標準的手法が存在する一般相対性理論において、カオスの指標を特定する課題に対処すること。
• マペルトゥアスの原理を用いて時空力学を幾何学的に定式化し、曲率に基づく不安定性基準を可能にすること。
• このような局所的基準の限界、特にグローバルなカオス的振る舞いを推論できないことの明確化。

提案手法

• 一般相対性理論の力学をマペルトゥアスの原理を用いて定式化し、アインシュタイン方程式を適切な多様体上の測地線流に変換する。
• 空間計量の空間にリーマン幾何を構築し、微分幾何学的手法の適用を可能にする。
• 多様体の曲率不変量、特にリッチスカラーに基づいた局所的不安定性の基準を定義する。
• リッチスカラーの符号を用いて指標を定義：負の値は局所的不安定性を示唆する。
• この幾何的基準を動的システムにおけるより一般的な不安定性指標と関連付ける。
• 基準が厳密に局所的であり、グローバルなカオス的ダイナミクスを拡張して推論できないことを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幾何学的原理を用いて、一般相対性理論におけるゲージ不変な局所的不安定性基準を導出可能か？
• RQ2 マペルトゥアスの原理は、一般相対性理論的力学をリーマン多様体上の測地線運動にどのように再定式化可能か？
• RQ3 曲率不変量、特にリッチスカラーは、局所的不安定性の特定にどのような役割を果たすか？
• RQ4 この曲率に基づく基準は、標準的な動的システムの不安定性基準とどのように比較できるか？
• RQ5 このような局所的基準が、一般相対性理論におけるグローバルなカオス的振る舞いをどの程度予測できるか？

主な発見

• マペルトゥアスの原理により、空間計量の空間から構築されたリーマン多様体上の測地線流として、一般相対性理論的力学を定式化できる。
• 軌道の多様体上でリッチスカラーが負である場合、局所的不安定性が示され、幾何学的かつゲージ不変な不安定性指標が得られる。
• 提案された基準は厳密に局所的であり、グローバルなカオス的ダイナミクスを示唆または予測しない。
• 配置空間の内在的幾何的性質にのみ依存するため、ゲージ依存性を回避する。
• 曲率に基づく不安定性基準は、適切な極限において、標準的な動的システムの不安定性概念と整合性を示す。
• 本研究は、一般相対性理論において、局所的不安定性指標がグローバルなカオスを推論するために使用できないという根本的な限界を強調する。