[論文レビュー] Maximal and inextensible polynomials and the geometry of the spectra of normal operators

Julius Borcea|ArXiv.org|Sep 15, 2003

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、第二順変動法を用いて最近の証明の主張を反証する文脈において、Sendovの予想の文脈における最大および不拡張可能な多項式を調査する。0-最大多項式（導関数の臨界点から原点までの距離を最大化する多項式）が、Sendovの予想に関して必ずしも局所的最大でないことが示され、第一順変動法に依拠する以前の証明が無効であることが判明する。また、多項式の臨界点と正規作用素の固有値およびその主部分行列の固有値との間の新しい作用素理論的枠組みが確立される。

ABSTRACT

We consider the set S(n,0) of monic complex polynomials of degree $n\ge 2$ having all their zeros in the closed unit disk and vanishing at 0. For $p\in S(n,0)$ we let $|p|_{0}$ denote the distance from the origin to the zero set of $p'$. We determine all 0-maximal polynomials of degree $n$, that is, all polynomials $p\in S(n,0)$ such that $|p|_{0}\ge |q|_{0}$ for any $q\in S(n,0)$. Using a second order variational method we then show that although some of these polynomials are inextensible, they are not necessarily locally maximal for Sendov's conjecture. This invalidates the recently claimed proofs of the conjectures of Sendov and Smale and shows that the method used in these proofs can only lead to (already known) partial results. In the second part of the paper we obtain a characterization of the critical points of a complex polynomial by means of multivariate majorization relations. We also propose an operator theoretical approach to Sendov's conjecture, which we formulate in terms of the spectral variation of a normal operator and its compression to the orthogonal complement of a trace vector. Using a theorem of Gauss-Lucas type for normal operators, we relate the problem of locating the critical points of complex polynomials to the more general problem of describing the relationships between the spectra of normal matrices and the spectra of their principal submatrices.

研究の動機と目的

• Sendovの予想およびSmaleの平均値予想に関する最近の証明主張を分析・反証すること、特に第一順変動法に依拠するものに焦点を当てる。
• すべての零点が閉単位円板内にあり、0で消えるn次モニック複素多項式の集合における0-最大多項式を特徴付けること。
• 多項式の零点と臨界点の幾何学的性質と、正規作用素のスペクトルおよびその主部分行列のスペクトルとの間の関係を確立すること。
• スペクトルの変動と主要性関係を用いた新しい作用素理論的枠組みを提案し、Sendovの予想をスペクトル的変動と関連付けること。

提案手法

• 多項式の零点の摂動とその臨界点への影響、特に臨界点の原点からの距離に注目して、第二順変動法を用いて分析する。
• 多変数の主要性関係を用いて、複素多項式の臨界点をその零点集合と関連付けて特徴付ける。
• 正規作用素のスペクトルの変動と、トレースベクトルの直交補空間への圧縮との関係を用いて、Sendovの予想を定式化する。
• 正規作用素に対するGauss-Lucas型定理を適用し、正規行列のスペクトルとその主部分行列のスペクトルとの関係を関連付ける。
• 複素係数を用いた行列式の恒等式と固有値の交互配置を用いて、所与の固有値と主部分行列の固有値を持つ正規行列の存在に必要な条件を導出する。
• 正規行列の固有値の部分行列に対する複素交互配置条件を用いて、Cauchy-Poincaréの分離定理の一般化を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 0-最大多項式（原点から臨界点までの距離を最大化する多項式）は、Sendovの予想に関して局所的に最大であるか？
• RQ2 第一順変動法のみでSendovの予想またはSmaleの平均値予想を証明することは可能か？
• RQ3 正規行列のスペクトルとそのサイズn−1の主部分行列のスペクトルとの間の関係は何か？
• RQ4 多変数の主要性関係は、複素多項式の臨界点をどのように特徴付けることができるか？
• RQ5 正規行列に対してSendovの予想のスペクトル的類似物は存在するか？もしあるならば、固有値集合間の有向ハウスドルフ距離にどのような上限が存在するか？

主な発見

• n次多項式の0-最大多項式が明示的に特定され、これらがSendovの予想に関して必ずしも局所的に最大でないことが示され、最近の偽証明のバージョンで主張された内容が無効であることが判明した。
• 第一順変動法ではSendovの予想を証明することは不可能であり、参照された証明の8つのバージョンすべてにおける主張に対して反例が提示された。
• 本稿では、正規行列のスペクトルからその主部分行列のスペクトルへの有向ハウスドルフ距離が、全スペクトルの凸包の直径に達する反例を構成した。これは、この文脈ではSendovの予想の直接的な類似物が存在しないことを示している。
• 固有値と主部分行列の固有値が所与の条件を満たす正規行列の存在について、固有値の差の積の比に関する複素交互配置条件を用いて、必要十分条件を確立した。
• 複素多項式の臨界点は、正規作用素に対する一般化されたGauss-Lucas性質を満たし、正規作用素の圧縮のスペクトルが元の作用素のスペクトルの凸包に含まれることを示した。
• 本稿では、Sendovの予想に対する新しい作用素理論的定式化を確立し、臨界点の位置を正規作用素のスペクトル変動と、トレースベクトルの直交補空間への圧縮との関係に結びつけた。