[논문 리뷰] Maximal varieties and the local Langlands correspondence for GL(n)

Mitya Boyarchenko, Jared Weinstein|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 9인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 비아르키메데스 국소체 위의 GL(n)에 대한 국소 리만-랑글랜즈 및 자크에-랑글랜즈 대응을 순수하게 국소적인 기하학적 실현으로 제공한다. 이는 무한수준 리브인-타이트 공간 내에 있는 개방 아핀오이드 부분집합을 구성함으로써 이루어지며, 그 줄임표는 유한체 위의 최대 다양체를 유도한다. 이 다양체의 호모로지가, 비분비적도수 n의 확장으로부터 유도된 웨일 매개변수를 가진 슈퍼스피시드 표현을 실현하며, 명시적인 다중도 일치 성질과 랑글랜즈 대응과의 호환성을 갖는다.

ABSTRACT

The cohomology of the Lubin-Tate tower is known to realize the local Langlands correspondence for GL(n) over a nonarchimedean local field. In this article we make progress towards a purely local proof of this fact. To wit, we find a family of open affinoid subsets of Lubin-Tate space at infinite level, whose cohomology realizes the local Langlands correspondence for a broad class of supercuspidals (those whose Weil parameters are induced from an unramified degree n extension). A key role is played by a certain variety X, defined over a finite field, which is "maximal" in the sense that the number of rational points of X is the largest possible among varieties with the same Betti numbers as X. The variety X is derived from a certain unipotent algebraic group, in an analogous manner as Deligne-Lusztig varieties are derived from reductive algebraic groups.

연구 동기 및 목표

• GL(n)에 대한 국소 리만-랑글랜츠 대응을 호모로지 방법을 사용하여 순수하게 국소적인 증명을 제공하는 것.
• 무한수준 리브인-타이트 공간 내에 있는 개방 아핀오이드 부분집합을 구성하여, 그 줄임표가 호모로지에서 리만-랑글랜츠 대응을 실현하는 것.
• 일반화된 군으로부터 생성된, 유한체 위의 특별한 다양체 X를 정의하고, 그 수리적 점 수의 관점에서 최대성의 의미에서 연구하는 것.
• 이 다양체의 호모로지가 광범위한 슈퍼스피시드 표현에 대한 국소 리만-랑글랜츠 및 자크에-랑글랜츠 대응을 실현하는 것.
• 무한수준 리브인-타이트 타워의 호모로지와 일반화된 군에 대한 델 라 쿠르지에-루스티그 유형의 다양체 사이의 기하학적 연결을 확립하는 것.

제안 방법

• K의 대수적 폐포의 완비화 위의 무한수준 리브인-타이트 공간 내에 개방 아핀오이드 부분집합 V를 구성한다.
• V의 줄임표를 연구하며, 이는 F̄_q 위의 스킴이며, F_{q^n} 위의 매끄러운 아핀 다양체의 완전화들의 합집합임을 보인다.
• X를 F_{q^n} 위의 일련의 군 U의 부분다양체 Y 위에서의 랑글랜츠 사상의 역상으로 정의하며, 델 라 쿠르지에-루스티그 구성 방식을 모방한다.
• U(F_{q^n})의 오른쪽 곱셈 작용을 X에 대해 분석하고, 일반화된 군의 구조를 이용하여 X의 ℓ-아디크 호모로지를 계산한다.
• 근처 순환 복합체와 GL_n(K) × D^× × W_K의 작용을 이용하여 표현을 호모로지 데이터와 연결한다.
• 표현이 Weil 매개변수를 통해 비분비적도수 n의 확장에서 유도된 경우에, H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ)에 나타나는 다중도 일치 성질을 보임으로써 다중도 일치 결과를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(n)에 대한 국소 리만-랑글랜츠 대응은 전적으로 국소적인 방법으로 실현될 수 있는가? (글로벌 아수정적 방법 없이)
• RQ2 적절한 아핀오이드의 줄임표의 기하학적 구조는 무엇인가?
• RQ3 일반화된 군으로부터 생성된, 델 라 쿠르지에-루스티그 다양체와 유사한 방식으로, 유한체 위의 다양체를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 이 다양체의 호모로지적 성질은 무엇이며, 슈퍼스피시드 표현과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 다양체의 호모로지를 통해 자크에-랑글랜츠 대응을 기하학적으로 실현할 수 있는가?

주요 결과

• 아핀오이드 V의 줄임표의 호모로지는, 비분비적도수 n의 확장으로부터 유도된 웨일 매개변수를 가진 슈퍼스피시드 표현에 대해 국소 리만-랑글랜츠 대응을 실현한다.
• 다양체 X는 그 F_{q^n}-유리점 수가 Betti 수에 의해 허용되는 상한에 도달하므로, 수리적 점 수의 관점에서 최대성의 의미를 갖는다.
• X의 ℓ-아디크 호모로지는 U(F_{q^n})의 기약 표현들의 직합으로 분해되며, H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ)는 유일한 비자명한 호모로지 군이다.
• Weil 매개변수 Ind_{L/K}θ를 갖는 표현 π에 대해, θ의 군자기수 m+1이며, 노름을 통한 낮추기가 불가능한 경우, Hom_{GL_n(K)}(π, H^{n-1}_c(overline{V}, Q̄_ℓ))는 비자명하고 일차원이다.
• GL_n(K) × D^× × W_K의 작용이 H^{n-1}_c(overline{V}, Q̄_ℓ)에 대해 기대되는 랑글랜츠 대응과 일치하며, σ^#(π)와 자크에-랑글랜츠 상응의 쌍대 표현이 호모로지로부터 나타난다.
• 중간 호모로지 H^{n-1}_c(X, Q̄_ℓ)는 U(F_{q^n})의 작용을 지니며, 프로베누스 전환의 스칼라 작용은 (-1)^{n-1} · q^{n(n-1)/2}로 주어진다.