[論文レビュー] Maximizing measures for partially hyperbolic systems with compact center leaves

Federico Rodriguez Hertz, M. A. Rodriguez Hertz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpactな1次元中心葉を持つ3次元多様体上の、アクセス可能な動的整合性を持つ部分的双曲的微分同相写像について、二分岐を確立する。中心リャプノフ指数が0である一意のエントロピー最大化測度が存在するか、もしくは非ゼロの中心リャプノフ指数を持つ有限個（1より大きい）のエルゴディック最大化測度が存在する。第二の状況は、$C^1$位相において一般に成り立つ。

ABSTRACT

We obtain the following dichotomy for accessible partially hyperbolic diffeomorphisms of 3-dimensional manifolds having compact center leaves: either there is a unique entropy maximizing measure, this measure has the Bernoulli property and its center Lyapunov exponent is 0 or, there is a finite number of entropy maximizing measures, all of them with nonzero center Lyapunov exponent (at least one with negative exponent and one with positive exponent), that are finite extensions of a Bernoulli system. In the first case of the dichotomy we obtain that the system is topologically conjugated to a rotation extension of a hyperbolic system. This implies that the second case of the dichotomy holds for an open and dense set of diffeomorphisms in the hypothesis of our result. As a consequence we obtain an open set of topologically mixing diffeomorphisms having more than one entropy maximizing measure.

研究の動機と目的

• アクセス可能な動的整合性を持つ部分的双曲的微分同相写像が、コンpactな1次元中心葉を持つ3次元多様体上で定義される場合のエントロピー最大化測度の構造と数を特定すること。
• このような系が一意の最大化測度をもつか、あるいは有限個の最大化測度をもつかを確立し、それらの力学的性質を特徴づけること。
• 各状況が$C^1$位相において一般に成り立つかどうかを調査し、中心指数が0のときの位相的同相構造を明らかにすること。
• 特にベルヌーイ性と中心foliationの絶対連続性に関連して、保存的力学系に与える影響を検討すること。

提案手法

• 中心葉のコンpact性と1次元性を活かし、一様双曲的基底上の非線形コサイクルとして系をモデル化する。
• アヴィラとヴィアナの不変性原理を用いて、不変測度のリャプノフ指数を分析する。
• アヴィラ、ヴィアナ、ウィンクラップにインspiredされた位相的同相性技術を用い、中心指数が0ならば、双曲的系の回転拡張に同相であることを示す。
• アクセスビリティと動的整合性を活かし、中心foliationに整合したグローバル構造の存在を保証する。
• 変分原理とエントロピーの正則性を用いて、最大化測度のエルゴディックおよび測度論的性質を分析する。
• ニューホールスとヤングの「ほぼ同相性」と内在的エルゴディシティに関する結果を用い、一意の最大化測度をもつ系との比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アクセス可能で動的整合性を持つ、コンpactな中心葉を持つ3次元多様体上の部分的双曲的微分同相写像は、常に一意のエントロピー最大化測度をもつか。
• RQ2 そうでない場合、このような系におけるエルゴディック最大化測度の一般的な数と構造は何か。
• RQ3 エントロピー最大化測度がベルヌーイ的である条件は何か。また、有限個のベルヌーイ拡張である場合の条件は何か。
• RQ4 中心リャプノフ指数が、最大化測度の一意性または多様性をどのように決定づけるか。
• RQ5 保存的系において、中心指数が0で中心foliationが絶対連続でない場合、滑らかな不変測度がベルヌーイ的でないことがあるか。

主な発見

• アクセス可能で動的整合性を持つ、コンpactな1次元中心葉を持つ3次元多様体上の部分的双曲的微分同相写像では、中心リャプノフ指数が0である一意のエントロピー最大化測度が存在するか、もしくは非ゼロの中心リャプノフ指数を持つ有限個（1より大きい）のエルゴディック最大化測度が存在する。
• 一意の最大化測度が中心指数0の場合は、系は双曲的系の回転拡張に位相的同相である。
• 複数のエルゴディック最大化測度をもつ微分同相写像の集合は、$C^1$位相において、そのクラス内で開かつ稠密である。
• 一意の最大化測度が中心指数0の場合は、それはベルヌーイシフトに同型である。
• 複数の最大化測度がある場合は、それぞれがベルヌーイシフトの有限拡張であり、少なくとも1つは正の、1つは負の中心リャプノフ指数を持つ。
• 保存的系において、中心指数が0で中心foliationが絶対連続ならば、系は滑らかにベルヌーイ系に同相であるが、そうでない場合は測度がベルヌーイ的でない可能性があり、3次元では未解決の問題が残っている。