[論文レビュー] Maximizing Profit with Convex Costs in the Random-order Model

Anupam Gupta, Ruta Mehta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Optimization and Search Problems参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、d次元のリソース上で凸で超モodularなコスト関数を有するランダム順序モデルにおける利益最大化のためのO(d)-競合比を達成する確率的アルゴリズムを提示する。凸双対性と新規のしきい値手法を活用することで、非制約問題ではO(d)、マトロイド制約付き設定ではO(d³ log log rank)の改善された競合比を達成し、従来の可分コスト関数への一般化を拡張し、保証付きの非可分超モodularコストへの初めての一般化を提供する。

ABSTRACT

Suppose a set of requests arrives online: each request gives some value $v_i$ if accepted, but requires using some amount of each of $d$ resources. Our cost is a convex function of the vector of total utilization of these $d$ resources. Which requests should be accept to maximize our profit, i.e., the sum of values of the accepted demands, minus the convex cost? We consider this problem in the random-order a.k.a. secretary model, and show an $O(d)$-competitive algorithm for the case where the convex cost function is also supermodular. If the set of accepted demands must also be independent in a given matroid, we give an $O(d^3 α)$-competitive algorithm for the supermodular case, and an improved $O(d^2α)$ if the convex cost function is also separable. Here $α$ is the competitive ratio of the best algorithm for the submodular secretary problem. These extend and improve previous results known for this problem. Our techniques are simple but use powerful ideas from convex duality, which give clean interpretations of existing work, and allow us to give the extensions and improvements.

研究の動機と目的

• リソースがd次元で、リクエストが逐次的に到着し、意思決定が不可逆であるランダム順序モデルにおける、凸で超モodularなコスト関数を有するオンライン利益最大化問題に取り組む。
• 従来の可分コスト関数に関する結果を、より一般的な非可分で超モodularな凸コスト関数のケースに拡張する。
• 凸双対性を用いた一貫性のあるアルゴリズムフレームワークを構築し、既存の手法を単純化・改善する。
• 非制約およびマトロイド制約付き設定における競合比を確立するが、特に超モodularコスト関数の下で焦点を当てる。
• 超モodularコスト関数を可分コスト関数に還元する一般化された還元手法を提供し、損失が有界であることを保証して既存のアルゴリズムを活用可能にする。

提案手法

• 凸双対性を用いて、特に超モodularコスト関数下での利益最大化問題の構造を再解釈・単純化する。
• 限界値と双対変数に基づくしきい値メカニズムを導入し、アイテムの価値対コスト比が動的に学習されたしきい値を超える場合にのみ受容する。
• 利益関数の分数的緩和を採用し、濃度不等式を用いて高確率での性能保証を確保する。
• サブモジュラ関数のLöwders化を用いて、元の超モodular問題の最適解と可分コスト設定における分数量解との関係を確立する。
• 単一の秘匿順序アルゴリズムと可分コストアルゴリズムを組み合わせる確率的還元手法を構築し、探索と活用のバランスをとるための適切に選択された確率を用いる。
• マトロイドポリトープの多面体的性質を用いて、可分設定における良い整数解が、元の超モodular設定における最適解を近似できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可分で超モodularな凸コスト関数を有するオンライン利益最大化問題において、ランダム順序モデルで定数または多対数的競合比を達成可能か？
• RQ2 コスト関数が超モodularだが非可分である場合、次元dに伴い競合比はどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 既存の可分コスト関数用アルゴリズムを、損失が有界であるように超モodularコスト関数に適応可能か？
• RQ4 超モodularコスト関数を可分コスト関数に還元する際の最小損失は何か？ そして、この損失をアルゴリズム的にどのように活用できるか？
• RQ5 凸双対性は、このクラスのオンライン最適化問題に対する従来のアルゴリズム的手法を単一化し、簡素化・改善する枠組みを提供するか？

主な発見

• 本稿では、ランダム順序モデルにおいて、超モodular凸コスト関数を有する非制約オンライン利益最大化問題に対して、初めてO(d)-競合比を達成する確率的アルゴリズムを提示する。
• 可分コスト関数を有するマトロイド制約付きケースでは、O(d² log log rank)-競合比のアルゴリズムを達成し、Barmanら（2012）のO(d⁵ log log rank)の境界を改善する。
• 超モodularコスト関数を有するマトロイド制約付きケースでは、O(d³ log log rank)-競合比のアルゴリズムを提示する。これは、超モodularコストから可分コストへの一般還元により導出される。
• 還元手法により、任意の可分コスト関数に対するβ-近似アルゴリズムが、超モodularコスト関数に対してd(β + 2ed)-近似を達成できることを示し、損失係数はdとeに依存する。
• 分析は凸双対性、濃度不等式、マトロイドポリトープの多面体的性質に依存し、高確率での性能保証を確保する。
• d次元ナップサック問題の下界Ω(d¹⁻ᵝ)が、対数要因を除いてタイトであることが示され、d依存性が避けがたいことを示唆する。