[論文レビュー] Maximizing the Growth Rate under Risk Constraints

Traian A. Pirvu, Gordan Žitković|ArXiv.org|Jun 4, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ランダム係数を伴う不完全な Itô過程金融市場において、Value-at-Risk (VaR)、Tail-VaR (TVaR)、Limited Expected Loss (LEL) などのさまざまなリスク制約のもとで長期的ポートフォリオ成長を最大化する問題を解決する。最適戦略は、制約なしの Merton ポートフォリオの状態に依存する均一なスケーリング縮小であることが示され、リスク制約付き投資家は局所的に、現在の市場状況に応じたリスク回避度を有する CRRA 投資家のように振る舞う。

ABSTRACT

We investigate the ergodic problem of growth-rate maximization under a class of risk constraints in the context of incomplete, Itô-process models of financial markets with random ergodic coefficients. Including {\em value-at-risk} (VaR), {\em tail-value-at-risk} (TVaR), and {\em limited expected loss} (LEL), these constraints can be both wealth-dependent(relative) and wealth-independent (absolute). The optimal policy is shown to exist in an appropriate admissibility class, and can be obtained explicitly by uniform, state-dependent scaling down of the unconstrained (Merton) optimal portfolio. This implies that the risk-constrained wealth-growth optimizer locally behaves like a CRRA-investor, with the relative risk-aversion coefficient depending on the current values of the market coefficients.

研究の動機と目的

• VaR や TVaR のような現実的で凸でないリスク制約のもとでの連続時間ポートフォリオ最適化におけるギャップを埋める。
• 広範なリスク制約クラスのもとで、成長率を最大化する最適ポートフォリオの存在と明示的特徴付けを確立する。
• リスク制約付き最適戦略が、制約なしの Merton ポートフォリオの均一なスケーリング版であることを示す。
• 動的かつ状態依存的な方法で、リスク制約付き成長最適化と CRRA 効用行動との間の関係を形式化する。
• 不完全な Itô過程モデルにおけるリスク制約付きのエルゴディック制御のための厳密な数学的枠組みを提供する。

提案手法

• ランダムで時間変動する市場係数を用いて、資産のリスク制約を含むエルゴディック確率的制御問題として問題を定式化する。
• ポートフォリオの期待リターンとボラティリティの可測関数としてリスク制約を定義し、VaR、TVaR、LEL を特別なケースとして含む。
• 制約付き最適戦略を、リスク尺度によって定義される時間に依存する制約集合への制約なし Merton ポートフォリオの射影として構築する。
• 伊藤の補題と半マルティンゲール分解を用いて、任意の許容戦略の資産価値過程と制約付き戦略の資産価値過程の比がスーパーマルティンゲールであることを証明する。
• ファトゥの補題を適用してスーパーマルティンゲール性を確立し、制約付き戦略の最適性を導出する。
• 最適方策が、現在の市場係数とリスク制約に依存する状態依存的スケーリング因子による均一なスケーリングであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的かつ状態依存的なリスク制約（例：VaR や TVaR）の下で、ポートフォリオの長期的成長率をどのように最大化できるか？
• RQ2 不完全な Itô過程市場におけるこのようなリスク制約のもとで、最適投資方策の構造的形態は何か？
• RQ3 最適リスク制約付き戦略は CRRA 効用行動の性質を保持するか？ もしそうなら、リスク回避度係数はどのように変化するか？
• RQ4 最適戦略は、制約なし Merton ポートフォリオの単純な変換によって明示的に構築可能か？
• RQ5 このような制約付き成長最大化戦略の存在性と最適性を保証する数学的条件は何か？

主な発見

• リスク制約付き最適ポートフォリオは、現在の市場係数とリスク制約に依存するスケーリング係数による、制約なし Merton ポートフォリオの均一なスケーリング縮小版である。
• 最適戦略は存在し、許容性クラスに属しており、適切に振る舞う資産価値過程と非爆発的成長を保証する。
• 任意の停止時刻における期待対数資産価値の観点で、最適戦略の資産価値過程は、他の任意の許容戦略の資産価値過程を支配する。
• 制約付き最適方策は、現在の市場係数とリスク制約の値に依存する相対的リスク回避度係数を持つ CRRA 投資家のように局所的に振る舞う。
• 最適性は、伊藤の補題と制約集合の幾何的性質を活用した、資産価値過程の比に関するスーパーマルティンゲールの議論によって証明される。
• この枠組みは、絶対的および相対的（資産価値依存）の両方の定式化を含む、VaR、TVaR、LEL を含む広範なリスク尺度に適用可能である。