[論文レビュー] Maximum likelihood estimation for the Fréchet distribution based on block maxima extracted from a time series

Axel Bücher, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、厳密に定常な時系列からブロック最大値を抽出する際、Fréchet分布に対する最尤推定量（MLE）の一貫性および漸近正規性を確立し、系列の独立性を仮定する一般的な仮定を裏付ける。依存性や有限ブロックサイズの影響にもかかわらず、MLEは漸近的に独立同分布（i.i.d.）であるかのように振る舞い、漸近的分散はFréchet族の逆フィッシャー情報量と一致する。これは長-range依存（可 summable でない混合係数）の下でも成り立つ。

ABSTRACT

The block maxima method in extreme-value analysis proceeds by fitting an extreme-value distribution to a sample of block maxima extracted from an observed stretch of a time series. The method is usually validated under two simplifying assumptions: the block maxima should be distributed according to an extreme-value distribution and the sample of block maxima should be independent. Both assumptions are only approximately true. For general triangular arrays of block maxima attracted to the Frechet distribution, consistency and asymptotic normality is established for the maximum likelihood estimator of the parameters of the limiting Frechet distribution. The results are specialized to the setting of block maxima extracted from a strictly stationary time series. The case where the underlying random variables are independent and identically distributed is further worked out in detail. The results are illustrated by theoretical examples and Monte Carlo simulations.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、Fréchet分布に適合させる際、ブロック最大値を独立であるとみなすという一般的な実務的慣習を、厳密に正当化することにある。
• モデル近似誤差（有限ブロックサイズ）と時系列内の系列依存性という二重の課題に取り組む。
• 一般のサンプリングスキームのもとで、Fréchet分布の吸引域におけるMLEの漸近理論を確立することにある。
• 技術的困難さのため、三パラメータGEVモデルとは異なり、特に重尾の場合に焦点を当てる。
• 本研究は、現実的な時系列依存性のもとでブロック最大値法のロバスト性を確認する。

提案手法

• 分析は、ブロックサイズが標本サイズとともに増大する三角配列枠組み内で行われる。
• スケーリングされたブロック最大値の経験的分布がFréchet分布に収束するための条件を導出する。
• パラメータ (α, σ) をもつFréchet分布に最尤推定を適用し、MLEの漸近的性質を導出する。
• 主な技術的アプローチは、関数中心極限定理の議論を用いて、正規化された経験プロセスの弱収束を証明することにある。
• 収束の分布に関する条件の検証に依存し、モーメントの有界性およびドミネート収束定理による一様可積分性を含む。
• 漸近的分散が、フィッシャー情報行列の逆行列に等しいことが示され、i.i.d. 近似が漸近的に成立することが確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系列依存性を示す定常時系列からブロック最大値を抽出する際、Fréchet分布に対する最尤推定量（MLE）は一貫性および漸近正規性を保つのか？
• RQ2 非可summable な混合係数を含む一般のサンプリングスキームのもとで、ブロック最大値間の独立性仮定は理論的に正当化可能か？
• RQ3 元のデータが依存的であり、有限ブロックに基づくブロック最大値が用いられる場合、FréchetパラメータのMLEの漸近的分布は何か？
• RQ4 依存性のもとで、MLEの漸近的分散は、逆フィッシャー情報量とどのように比較されるか？
• RQ5 モデル近似誤差（有限ブロックサイズ）は、Fréchet吸引域におけるMLEの漸近的性質に影響を与えるか？

主な発見

• ブロック最大値がFréchet分布に収束する一般の三角配列スキームのもとで、Fréchet分布に対する最尤推定量（MLE）は一貫性および漸近正規性を有する。
• MLEの漸近的分散行列は、Fréchet族のフィッシャー情報行列の逆行列に等しい。これは依存性が存在する場合でも成り立つ。
• 強い混合係数が可summable でない場合でも、結果は成り立つ。これは長-range依存が存在する場合でも有効であることを意味する。
• 理論的正当性により、ブロック最大値間の独立性仮定がFréchet分布に対して漸近的に有効であることが確認される。
• MLEは、ブロック最大値がi.i.d. であるかのように、同じ漸近的効率性を達成する。これは、実務的なブロック最大値法の正当性を裏付ける。
• 理論的例およびモンテカルロシミュレーションにより、有限標本における良好な性能が示された。