[論文レビュー] Mayer-Vietoris systems and their applications

Lingxu Meng|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、cdp前層およびcds前層を用いてMayer-Vietoris系を導入し、コンパクトでない多様体へとコhomologicalツールを一般化する。ドレーベールコホモロジーおよび局所系統コホモロジーの吹き替え公式について、非コンパクトな複素多様体および滑らか多様体上でも同型が成り立つことを確立し、Rao, Yang, およびYangの公式がコンパクト性の仮定なしに有効であることを証明する。

ABSTRACT

We introduce notions such as cdp presheaf, cds precosheaf, Mayer-Vietoris system, and investigate their properties. As applications, we study cohomologies with values in local systems on smooth manifolds and Dolbeault cohomologies with values in locally free sheaves on complex manifolds, where the compactness is not necessary for both cases. In particular, we write out explicit blow-up formulas for these cohomologies. Moreover, we compare the blow-up formula given by Rao, S., Yang, S. and Yang, X.-D. with ours, and then deduce that their formula is still an isomorphism in the noncompact case.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体上のコホモロジー理論にMayer-Vietoris系に基づくフレームワークを構築すること。
• Leray-Hirsch定理やPoincaré双対性といった古典的結果を非コンパクトな状況へと拡張すること。
• コンパクト性を要件としないドレーベールコホモロジーおよび局所系統コホモロジーの明示的吹き替え公式を提供すること。
• Rao, S., Yang, S., およびYang, X.-D.の吹き替え公式が非コンパクトな場合でも同型であることを検証すること。
• 体系的な前層-前層的アプローチにより、バンドル値コホモロジーに関する先行研究を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 可算な直積または直和条件を満たすcdp前層およびcds前層を導入する。
• 制限写像と拡張写像を含む完全列を持つ、前層または前層の集まりとしてMayer-Vietoris系を定義する。
• 主要定理を確立する：M-V準同型が開集合の基底上で同型を誘導するならば、それは同型である。
• この定理を滑らか多様体上の局所系統値コホモロジーおよび複素多様体上の局所自由層値コホモロジーに適用する。
• 例外除集合上の標準的ラインバンドルのチャーン類を用いて、明示的な吹き替え同型を構成する。
• 同型をコホモロジー上に定義するため、演算子 $ \pi^* + \sum_{i=0}^{r-2} (i_E)_* \circ (h^i \cup) \circ (\pi|_E)^* $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mayer-Vietoris系を用いて、コンパクト多様体を超えたコホモロジー公式を拡張できるか？
• RQ2 局所自由層値ドレーベールコホモロジーの吹き替え公式は、非コンパクトな場合にも成り立つか？
• RQ3 局所系統コホモロジーの吹き替え公式は、底多様体が非コンパクトな場合でも同型のままであるか？
• RQ4 このフレームワークを用いて、Leray-Hirsch定理およびKünneth公式を非コンパクトな状況へと一般化できるか？
• RQ5 新しい同型は、Rao, S., Yang, S., およびYang, X.-D.の非コンパクトな場合のそれらとどのように比較できるか？

主な発見

• 本稿は、局所自由層値ドレーベールコホモロジーの吹き替え公式が、非コンパクトな複素多様体上でも成り立つことを証明した。
• すべての $ p,q $ に対して、$ H^{p,q}(\widetilde{X},\pi^*\mathcal{E}) \cong H^{p,q}(X,\mathcal{E}) \oplus \bigoplus_{i=0}^{r-2} H^{p-1-i,q-1-i}(Y, i_Y^*\mathcal{E}) $ という同型が、コンパクト性を要件とせず成立する。
• 局所系統値コホモロジーに関しては、同型 $ H^k(\widetilde{X}, \pi^{-1}\mathcal{V}) \cong H^k(X,\mathcal{V}) \oplus \bigoplus_{i=0}^{r-2} H^{k-2-2i}(Y, i_Y^{-1}\mathcal{V}) $ が非コンパクト多様体上で成り立つ。
• コンパクト台付きコホモロジーに対しても同様の同型が成立する：$ H_c^k(\widetilde{X}, \pi^{-1}\mathcal{V}) \cong H_c^k(X,\mathcal{V}) \oplus \bigoplus_{i=0}^{r-2} H_c^{k-2-2i}(Y, i_Y^{-1}\mathcal{V}) $。
• Rao, S., Yang, S., およびYang, X.-D.の吹き替え公式が、底多様体が非コンパクトであっても同型のままであることが確認された。
• このフレームワークにより、Mayer-Vietoris系を用いてLeray-Hirsch定理およびKünneth公式を非コンパクトな状況へと一般化できる。