[論文レビュー] Mean Field Asymptotic Behavior of Quantum Particles with Initial Correlations

V. I. Gerasimenko|Jul 7, 2014

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般化量子動力学方程式の平均場スケーリング極限を分析することにより、初期相関を含む量子ヴラソフ型運動方程式を厳密に導出する。初期相関が平均場力学において時間発展するという事実を示すために、二つの同等のアプローチを確立する。一つは双対量子BBGKY階層に従う周辺観測量の記述であり、もう一つは一般化量子動力学方程式に従う1粒子密度演算子の記述である。

ABSTRACT

In the paper we consider the problem of the rigorous description of the kinetic evolution in the presence of initial correlations of quantum large particle systems. One of the developed approaches consists in the description of the evolution of quantum many-particle systems within the framework of marginal observables in mean field scaling limit. Another method based on the possibility to describe the evolution of states within the framework of a one-particle marginal density operator governed by the generalized quantum kinetic equation in case of initial states specified by a one-particle marginal density operator and correlation operators.

研究の動機と目的

• 初期相関が存在する場合の量子多粒子系の運動的進化を厳密に記述すること。初期相関は凝縮量子ガスにおいて一般的である。
• 標準的な平均場導出法（初期相関なし）を越えて、初期相関を含む量子運動方程式の一般化を行うこと。
• 初期相関が存在する状況において、周辺観測量の力学と1粒子密度演算子の進化との間の関係を確立すること。
• 初期相関を含む一般化量子動力学方程式が平均場極限において量子ヴラソフ型方程式に還元されることを証明すること。
• 観測量に基づく形式と状態に基づく形式の両方を用いて、初期相関が平均場スケーリング極限において時間発展することを数学的に確立すること。

提案手法

• 周辺観測量の平均場漸近的挙動を記述するための双対量子BBGKY階層に基づく形式的枠組み。
• 初期相関を扱うために、量子BBGKY階層に対する摂動論的でない解法技術の使用。
• 平均場スケーリング極限において、双対量子BBGKY階層の極限として双対量子ヴラソフ階層を導出すること。
• 1粒子密度演算子と相関演算子によって指定される状態のための一般化量子動力学方程式の構築。
• 周辺関数-functionalの関数的表現を用いて、観測量の進化と状態の進化との間の同等性を確立すること。
• ノルム収束の議論を適用し、一般化量子動力学方程式の解が平均場極限において初期相関を有する量子ヴラソフ型方程式の解に収束することを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期相関が存在する場合に、量子多粒子系の運動的進化をどのように厳密に記述できるか？
• RQ2 初期相関を含む一般化量子動力学方程式の平均場極限は何か？ そして、量子ヴラソフ方程式とどのように関係するか？
• RQ3 初期相関の時間的発展は、平均場スケーリング極限において数学的に確立可能か？
• RQ4 初期相関が存在する状況において、周辺観測量の力学と1粒子密度演算子の進化との間の関係は何か？
• RQ5 純粋状態の場合に、導出された初期相関を有する量子ヴラソフ型方程式は、相互作用カーネルがデルタ関数であるとき、どのようにグロス＝ピタエフスキー方程式に還元されるか？

主な発見

• 初期相関を含む一般化量子動力学方程式の平均場スケーリング極限は、初期相関を有する量子ヴラソフ型運動方程式をもたらす。
• 双対量子ヴラソフ階層は、平均場極限における周辺観測量の双対量子BBGKY階層の極限として現れる。
• 初期相関は、平均場力学において時間発展する。これは、状態の周辺関数-functionalが1粒子密度演算子と相関カーネルを含む表現に収束することによって示される。
• 一般化量子動力学方程式の解系列が、平均場極限において $\epsilon \to 0$ のときノルム収束するため、数学的厳密性が保証される。
• 純粋状態の場合、導出された量子ヴラソフ型方程式は、相互作用カーネルがデルタ関数であるとき、グロス–ピタエフスキー型方程式に還元される。
• 本手法により、一次近似を超えた高次補正の体系的構築が可能となり、平均場進化の拡張が可能となる。