[論文レビュー] Mean field propagation of infinite dimensional Wigner measures with a singular two-body interaction potential

Zied Ammari, Francis Nier|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2011

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 40被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、クーロンポテンシャルを含む特異的二体相互作用ポテンシャルを有する多体系ボーズ系に対して、無限次元のウィグナー測度の平均場伝播を確立する。最適輸送理論からの測度輸送技法を用いることで、ウィグナー測度が非線形ハートリー流 沿って進化することを証明し、従来の有界ポテンシャルに限られた結果を拡張し、量子多体系における特異的相互作用の厳密な位相空間枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider the quantum dynamics of many bosons systems in the mean field limit with a singular pair-interaction potential, including the attractive or repulsive Coulombic case in three dimensions. By using a measure transportation technique, we show that Wigner measures propagate along the nonlinear Hartree flow. Such property was previously proved only for bounded potentials in our previous works with a slightly different strategy.

研究の動機と目的

• クーロンポテンシャルのような特異的相互作用ポテンシャルを含む多体系量子系の平均場極限を拡張すること。
• 無限次元設定における非線形ハートリー流 沿ってウィグナー測度の伝播を確立すること。
• 特異的ポテンシャルの存在下で多項式近似手法が失敗する問題を克服すること。
• 相互作用ポテンシャルの有界性の欠如に対処するため、最適輸送理論からの測度輸送技法を活用すること。
• 特異的相互作用を有するボーズ系における平均場極限の厳密な位相空間的記述を提供すること。

提案手法

• 先行研究で導入された無限次元ウィグナー測度フレームワークを採用し、系を位相空間上の確率測度として取り扱う。
• 特異的二体ポテンシャルの性質に対処するため、最適輸送理論（特に[AGS]から）の測度輸送技法を適用する。
• 平均場極限を $\varepsilon = 1/n$ としてモデル化し、$\varepsilon \to 0$ かつ $n \to \infty$ の極限を考察する。
• BBGKY階層を用いて力学を解析し、ウィグナー測度への射影により、閉じた非線形リウヴィル型方程式が得られることを示す。
• ゲージ不変性とコherent状態の構造を活用し、既知のウィグナー測度を持つ明示的例を構築する。
• 2次量子化形式およびウィーク記法を用いてトレース極限を計算し、粒子数およびエネルギー観測量の収束を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーロンポテンシャルのような特異的二体相互作用ポテンシャルに対して、ウィグナー測度の平均場伝播を厳密に確立できるか？
• RQ2 特異的相互作用の存在下で、多項式近似手法の失敗をどのように克服できるか？
• RQ3 最適輸送理論からの測度輸送法は、非線形ハートリー力学におけるウィグナー測度伝播の解析をどの程度可能にするか？
• RQ4 特異的相互作用を有する系において、初期状態および時間発展後のウィグナー測度の幾何的構造はいかなるものか？
• RQ5 ハートリー方程式のゲージ不変性は、ウィグナー測度の時間発展にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 特異的二体ポテンシャルに対してもウィグナー測度は非線形ハートリー流 沿って伝播する。これは、従来の有界相互作用に限られた結果を一般化する。
• 測度輸送技法により、特異的ポテンシャルでは失敗する多項式近似の必要性が効果的に置き換えられる。
• 等しい振幅を持つ2モードコherent状態に対して、初期ウィグナー測度は2次元複素部分空間内のトーラス上での一様分布であり、$\mu_0 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \delta_{\psi_\varphi}^{S^1} d\varphi$ で表される。
• 時間発展後のウィグナー測度もトーラス上に台を持つ。具体的には $\mu_t = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \delta_{\psi_\varphi(t)}^{S^1} d\varphi$ であり、ここで $\psi_\varphi(t)$ はハートリー方程式の解である。
• 縮退密度行列は $\lim_{\varepsilon \to 0} \gamma_\varepsilon^{(p)}(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} |\psi_\varphi(t)^{\otimes p}\rangle\langle\psi_\varphi(t)^{\otimes p}| d\varphi$ に収束し、観測量のレベルで平均場極限が確認される。
• 粒子数およびエネルギーのトレースは、それぞれ1および $\frac{1}{2}(|\psi_1|^2 + |\psi_2|^2)$ に収束し、初期状態の性質と整合することが確認される。