[論文レビュー] Measure and integration on Boolean algebras of regular open subsets in a topological space

Marcus Pivato, Vassili Vergopoulos|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2017

Advanced Topology and Set Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、位相空間における正則開集合のボレル代数上の、有限加法的測度（内容）の統合と表現の理論を展開する。このような内容は、境界測度の共有を指定する臨界的構造を備えた正規ボレル測度として表現可能であり、内容空間、そのストーン空間、およびグレーゲン確率空間の間の函手的関係を確立する。

ABSTRACT

The regular open subsets of a topological space form a Boolean algebra, where the `join' of two regular open sets is the interior of the closure of their union. A `credence' is a finitely additive probability measure on this Boolean algebra, or on one of its subalgebras. We develop a theory of integration for such credences. We then explain the relationship between credences, residual charges, and Borel probability measures. We show that a credence can be represented by a normal Borel measure, augmented with a `liminal structure', which specifies how two or more regular open sets share the probability mass of their common boundary. In particular, a credence on a locally compact Hausdorff space can be represented by a normal Borel measure and a liminal structure on the Stone-Čech compactification of that space. We also show how credences can be represented by Borel measures on the Stone space of the underlying Boolean algebra of regular open sets. Finally, we show that these constructions are functorial.

研究の動機と目的

• 位相空間における正則開集合のボレル代数上で定義された有限加法的測度（内容）の統合理論を構築すること。
• 内容、残留電荷、および古典的ボレル測度の間の関係を明確にすること。
• 局所コンパクトハウスドルフ空間上の内容が、正規ボレル測度とストーン-チェホフコンパクト化上の臨界的構造によって表現可能であることを示すこと。
• 正則開集合のボレル代数上の内容が、その代数のストーン空間上のボレル測度として表現可能であることを示すこと。
• 内容空間、そのコンパクト化、およびグレーゲン確率空間の間の函手的関係を確立すること。

提案手法

• 和を閉包の内部として定義する操作を用いて、正則開集合の族にボレル代数構造を定義する。
• このボレル代数上の実数値関数としての内容を定義し、古典的測度を一般化する。
• このような内容に関して実数値関数の統合理論を構築する。
• ストーン-チェホフコンパクト化上の正規ボレル測度を用いて内容を表現し、境界測度の共有を符号化する臨界的構造を付加する。
• ストーン空間構成を用いて、正則開集合のボレル代数のストーン空間上のボレル測度として内容を表現する。
• 全内容空間の圏からコンパクト全内容空間の圏およびグレーゲン確率空間の圏への函手を定義し、射および測度構造を保存するようにして函手的性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則開集合のボレル代数上の有限加法的内容は、古典的ボレル測度と追加の構造を用いてどのように表現可能か？
• RQ2 臨界的構造は、正則開集合の共通境界における測度的挙動をどのように捉えているか？
• RQ3 内容の統合理論は体系的に構築可能であり、標準的測度論的概念とどのように結びつけることができるか？
• RQ4 ストーン空間およびストーン-チェホフコンパクト化の構成は、内容をボレル測度として表現するためにどのように機能するか？
• RQ5 内容空間、そのコンパクト化、およびグレーゲン確率空間の間にはどのような函手的関係が存在するか？

主な発見

• 局所コンパクトハウスドルフ空間上の内容は、そのストーン-チェホフコンパクト化上の正規ボレル測度と、共有される境界測度を指定する臨界的構造を備えたものとして表現可能である。
• 正則開集合のボレル代数のストーン空間には、元の内容を表現するボレル測度が存在する。
• 全内容空間からコンパクト全内容空間への函手βは忠実であり、射の構造を保存する。
• 全内容空間からグレーゲン確率空間への函手σも忠実であり、完全なボレル代数のストーン空間は極端に不連結である。
• ストーン空間上のボレル測度による内容の表現は、内容代数とストーン空間上の測度代数の間に標準的同型を与える。
• 臨界的構造の構成により、重なり合う正則開集合が境界測度を一貫して共有することが保証され、古典的測度論における位相的病理を解消する。