[論文レビュー] Measure rigidity and $p$-adic Littlewood-type problems

Manfred Einsiedler, Dmitry Kleinbock|ArXiv.org|Jun 24, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、均質的力学系からの測度剛性技法を用いて、$p$-進リトルウッド型予想を満たさない実数の集合がハウスドルフ次元0であることを確立している。一般化された$p$-進ディオファントス近似問題における例外集合がフラクタル的観点から極めて小さいことを証明し、二次無理数に関する結果を拡張し、ほとんどすべての実数について強い形での予想の妥当性を確認している。

ABSTRACT

The paper investigates various $p$-adic versions of Littlewood's conjecture, generalizing a set-up considered recently by de Mathan and Teulie. In many cases it is shown that the sets of exceptions to these conjectures have Hausdorff dimension zero. The proof follows the measure ridigity approach of Einsiedler, Katok and Lindenstrauss.

研究の動機と目的

• ディオファントス近似におけるリトルウッド予想の$p$-進一般化を調査すること。
• これらの$p$-進近似性質を満たさない実数の例外集合の大きさを特定すること。
• $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 上の$\mathbb{R} \times \mathbb{Z}$-作用の高ランク版に測度剛性理論を適用すること。
• $p$-進リトルウッド型問題の例外集合がハウスドルフ次元0であることを示すこと。
• $\mathcal{D}$-進ノルムおよび高ランクアデール群への枠組みの拡張すること。

提案手法

• Einsiedler, Katok, Lindenstrauss の測度剛性アプローチを用いて、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_p)$ 上の不変測度を分析する。
• 力学的特徴付けを適用：$u$ が $p$-進条件を満たさないとは、同相空間におけるある軌道が1パラメータ作用に関して有界であるときである。
• 一様作用 $\alpha^{(t,n)} = \left(\begin{smallmatrix}e^{-t}& \\ & e^t \end{smallmatrix}\right) \times \left(\begin{smallmatrix}a^n& \\ & a^{-n} \end{smallmatrix}\right)$ における不変測度のエントロピーを分析する。
• 実数および $p$-進因子における可換作用のエントロピーの加法性を用い、条件付き測度とリャプノフ重みに依存する。
• ディオファントス問題を、正のエントロピーをもつ不変測度の分類問題に還元する。
• 唯一のこのような測度はハア測度であるという事実を用い、例外集合が次元的に小さくなることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての実数 $u$ が $\liminf_{q \to \infty} |q| \cdot |q|_p \cdot \langle qu \rangle = 0$ を満たすのか？
• RQ2 この $p$-進近似性質を満たさない実数の集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ3 測度剛性法を整数 $a$ に対して $\mathcal{D} = \{a^n\}$ となる $\mathcal{D}$-進ノルムへ拡張できるか？
• RQ4 $(u,v) \in \mathbb{R} \times \mathbb{Q}_p$ で $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_p = 0$ を満たさない集合の次元は0か？
• RQ5 $\mathbb{Q}_S = \prod_{p_i | a} \mathbb{Q}_{p_i}$ を用いた $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{Q}_S)$ 上の力学系を用いて、一般化された $p$-進ディオファントス近似における例外集合を分類できるか？

主な発見

• $\liminf_{q \to \infty} |q| \cdot |q|_p \cdot \langle qu \rangle > 0$ を満たす実数 $u$ の集合はハウスドルフ次元0である。
• この例外集合は、ボックス次元0の集合の可算和として表され、フラクタル的観点から極めて小さいことを示している。
• 任意の $v \in \mathbb{Q}_p$ に対して、$\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_p = 0$ を満たさない $u \in \mathbb{R}$ の集合も、ボックス次元0の集合の可算和である。
• この結果は $\mathcal{D} = \{a^n\}$ となる $\mathcal{D}$-進ノルムへ拡張可能であり、完成化は $a$ の素因数の集合 $S$ に対して $\mathbb{Q}_S$ である。
• 一般化された条件 $\liminf_{q,q_0 \to \infty} |q| \cdot |qu - q_0| \cdot |qv - q_0|_{\mathcal{D}} = 0$ を満たさない例外集合のハウスドルフ次元は0である。
• 証明は、正のエントロピーをもつ $\alpha$-不変なエルゴード確率測度として唯一ハア測度が存在することに依存しており、非例外軌道が一般的であることを示唆している。