[論文レビュー] Measure-valued martingales and optimality of Bass-type solutions to the Skorokhod Embedding Problem

Mathias Beiglböck, Alexander M. G. Cox+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、スコロホド埋め込み問題（SEP）における最適性を検討するために、測度値マルティンゲール（MVM）フレームワークを導入する。BassおよびRootの埋め込みが、ブラウン運動とのワサーライン距離と内在的スピードの両方を最小化するMVMに対応することを示し、Bass MVMはワサーライン距離のマルティンゲール性と最小スピードによって最適性を達成するのに対し、Root MVMはスケーリングされた変分原理のもとで最適である。両解法はMVM理論によって統一される。

ABSTRACT

In this paper we consider (probability-)measure valued processes, which we call MVMs, which have a natural martingale structure. Following previous work of Eldan and Cox-Källblad, these processes are known to have a close connection to the solutions to the Skorokhod Embedding Problem. In this paper, we consider properties of these processes, and in particular, we are able to show that the MVMs connected to the Bass and Root embeddings have natural measure-valued analogues which also possess natural optimality properties. We also introduce a new MVM which is a generalisation of both the Bass and Root MVMs.

研究の動機と目的

• 1-Wasserstein距離を用いて、測度値マルティンゲール（MVM）とスコロホド埋め込み問題（SEP）の解との間の関係を確立すること。
• 停止過程としてではなく、内在的な幾何的・動的性質を持つMVMとして、BassおよびRootの埋め込みの最適性を特徴づけること。
• BassおよびRootのMVMを統一する共通の変分原理に従う一般化されたMVMを導入すること。
• Bass MVMが、すべてのMVMの中で進化のスピードとブラウン運動とのワサーライン距離の両方を最小化することを証明すること。
• スケーリングを除けば、BassおよびRootの解がMVMフレームワークにおいて同一の最適化問題を解くこと。

提案手法

• MVMを、有界連続関数との積分がマルティンゲールを形成するような、確率測度の空間に値をとる連続的時間過程として定義する。
• 測度の空間に1-Wasserstein距離を導入し、MVM間の距離の進化を分析する。
• 2つのMVM間のワサーライン距離が下マルティンゲールであることを証明し、Bass MVMにおいてのみマルティンゲールに一致することを示す。
• MVMの「スピード」を、平均過程の二次変動として定義し、Bass MVMがこのスピードを最小化することを示す。
• MVMとマルティンゲールの双対性を用いて、終端制約を現在の測度状態に埋め込んだ動的計画法問題にSEPを再定式化する。
• 変分的議論と凸順序の技術を用いて、Rootの埋め込みがBass解と同じ目的関数のスケーリング版において最適であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコロホド埋め込み問題におけるBass解の最適性は、停止過程ではなく測度値マルティンゲールのダイナミクスを通じて特徴づけられるか？
• RQ2 ブラウン運動とBass埋め込みに付随するMVMとの間のワサーライン距離は、マルティンゲールとして進化するか？ そしてこれはその最適性に何を意味するか？
• RQ3 BassおよびRootの埋め込みをMVMとして見た場合、それらを統一する共通の変分原理が存在するか？ その場合、背後にある目的関数は何か？
• RQ4 MVMの「スピード」を、Bass MVMがそれを最小化するように定義可能か？ そしてこれは平均過程の二次変動とどのように関係するか？
• RQ5 1-Wasserstein距離は、最適なMVMを同定する上でどのような役割を果たすか？ また、古典的パスベースの定式化では見えない新規な最適性結果をどのように可能にするか？

主な発見

• ブラウン運動に付随するMVMとBass解に付随するMVMとの間のワサーライン距離はマルティンゲールであり、これは距離的意味での鋭い最適性を示している。
• Bass MVMは、平均過程の二次変動として定義されるスピードを、すべてのMVMの中で最小化する。これは動的最適性を確立する。
• Root MVMは、Bass MVMを特徴づける目的関数のスケーリング版において最適であり、2つの埋め込みの間の深い構造的統一を示している。
• MVMフレームワークにより、終端埋め込み制約を現在の状態に埋め込むことができ、SEPの動的計画法定式化が可能になる。
• 同じ終端分布を持つすべてのMVMの中で、Bass解に付随するMVMは、ブラウン運動とのワサーライン距離を最小化する一意の解である。
• 本稿では、適切なスケーリングのもとで、Root埋め込みに付随するMVMがワサーライン距離に関してマルティンゲール性を満たすことを証明し、MVMフレームワークにおけるその最適性を確認している。