[論文レビュー] Measures by means, means by measures

Attila Losonczi|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Functional Equations Stability Results参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ボレル測度を用いて、リーマン可測集合への二変数平均（例えば幾何平均）の一般化を測度論的枠組みで行う。滑らかさの条件下で、任意の二変数平均を一意に生成する測度が存在することを証明し、そのような一般化平均がAM-GM不等式や無限大における算術平均への収束といった性質を継承することを示す。

ABSTRACT

We construct measure which determines a two-variable mean in a very natural way. Using that measure we can extend the mean to infinite sets as well. E.g. we can calculate the geometric mean of any set with positive Lebesgue measure. We also study the properties and behavior of such generalized means that are obtained by a measure, and we provide some applications as well.

研究の動機と目的

• 実数の無限可測部分集合へ二変数平均（例：幾何平均）を測度論を用いて拡張すること。
• ボレル測度が与えられた二変数平均を一意に生成する条件を確立すること。
• 測度から導かれる一般化平均が、単調性・連続性・不等式といった性質をどのように継承するかを調査すること。
• 集合を無限大へ平行移動する際の一般化平均の漸近的挙動を分析すること。
• 二変数平均の値が (1,x) 上の値によって完全に決定されることを示し、関数的再構成を可能にする。

提案手法

• 積分による一般化平均の定義：$\mathcal{M}^\mu(H) = \frac{\int_H x\, d\mu}{\mu(H)}$（$\mu$ をp-ボレル測度とし、$0 < \mu(H) < \infty$ である有界な$\mu$-可測集合$H$に対して）。
• 増加的で連続な関数に付随するルベーグ＝スティルチェス測度を用いて、与えられた平均の生成測度を構成する。
• 滑らかさおよび内部条件の下で、任意の二変数平均に対して、一意に生成する測度が存在することを証明する。
• 一般化平均の連続性および安定性を調べるために、$d_\mu$-擬距離収束の概念を応用する。
• 区間に基づく$\mu(I)/\lambda(I)$の下界$m_I$および上界$M_I$を用いて、漸近的挙動を分析する。
• 絶対連続性および互いに素な区間の有限和による近似を用いて、測度比に関する重要な上限を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の測度を持つ任意のルベーグ可測集合に対する幾何平均を意味的に定義可能か？
• RQ2 与えられた二変数平均を生成するボレル測度が存在する条件は何か？
• RQ3 AM-GM不等式のような性質が、測度を用いて定義された一般化平均へと拡張されるか？
• RQ4 集合を無限大へ平行移動する際、一般化平均はどのように振る舞うか？
• RQ5 二変数平均は、集合$\{(1,x)\}$上での値から完全に再構成可能か？

主な発見

• 滑らかさおよび内部条件を満たす任意の二変数平均に対して、一意にその平均を生成するp-ボレル測度が存在し、$\mathcal{M}^\mu(H) = \int_H x\, d\mu / \mu(H)$により定義される。
• 幾何平均は、区間上で密度$\frac{1}{e^2 \sqrt{x}(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$をもつボレル測度$\mu$によって生成され、任意の正のルベーグ測度集合上で平均が適切に定義される。
• 一般化平均$\mathcal{M}^\mu(H+x)$は、$x \to +\infty$のとき算術平均$\mathrm{Avg}(H+x)$に収束し、$\lim_{x\to\infty} |\mathcal{M}^\mu(H+x) - \mathrm{Avg}(H+x)| = 0$が成り立つ。
• $\mu(I)/\lambda(I)$のsupとinfの比$M_{I+x}/m_{I+x}$は、$x \to \infty$のとき1に近づき、算術平均への漸近的収束を裏付ける。
• 幾何平均に付随する測度に関して、不等式$\mathcal{M}^\mu(H) \geq \mathrm{Avg}(H)$が成り立ち、古典的なAM-GM不等式が一般化された設定でも保たれる。
• 二変数平均$\mathcal{K}(a,b)$は、その制限$f(x) = \mathcal{K}(1,x)$によって完全に決定され、測度論的手法により関数的再構成が可能である。