[論文レビュー] Measuring Distance between Reeb Graphs

Ulrich Bauer, Xiaoyin Ge+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 48被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、入力関数の小さな摂動に対し安定性を保ちつつ、判別力を維持するReeb図のための新しい距離である機能的歪み距離（FDD）を導入する。主な結果として、FDDは通常および拡張されたパーシステント図のボトルネック距離によって下から抑えられることを示し、簡略化後でも恒久的なトポロジカル特徴が検出可能であることを保証する。

ABSTRACT

One of the prevailing ideas in geometric and topological data analysis is to provide descriptors that encode useful information about hidden objects from observed data. The Reeb graph is one such descriptor for a given scalar function. The Reeb graph provides a simple yet meaningful abstraction of the input domain, and can also be computed efficiently. Given the popularity of the Reeb graph in applications, it is important to understand its stability and robustness with respect to changes in the input function, as well as to be able to compare the Reeb graphs resulting from different functions. In this paper, we propose a metric for Reeb graphs, called the functional distortion distance. Under this distance measure, the Reeb graph is stable against small changes of input functions. At the same time, it remains discriminative at differentiating input functions. In particular, the main result is that the functional distortion distance between two Reeb graphs is bounded from below by (and thus more discriminative than) the bottleneck distance between both the ordinary and extended persistence diagrams for appropriate dimensions. As an application of our results, we analyze a natural simplification scheme for Reeb graphs, and show that persistent features in Reeb graph remains persistent under simplification. Understanding the stability of important features of the Reeb graph under simplification is an interesting problem on its own right, and critical to the practical usage of Reeb graphs.

研究の動機と目的

• 入力関数の小さな摂動に対し安定する、Reeb図のための頑健な距離を定義すること。
• 標準的なパーシステント図が失敗する状況でも、異なるスカラー場を区別できるように、距離が判別力を保つこと。
• 機能的歪み距離とパーシステント図、特にボトルネック距離との理論的境界を確立すること。
• 自然なReeb図の簡略化戦略における恒久的特徴の安定性を分析すること。
• Gromov-Hausdorff距離やマージツリーのインタLeave距離といった既存の距離と、機能的歪み距離を結びつけること。

提案手法

• Gromov-Hausdorff距離にインspiredされた機能的歪み距離（FDD）を、関数と経路を通じてReeb図間の歪みを測る距離として提案する。
• すべての対応のうちで、対応する点間の関数値と経路高さの歪みの最大値を最小化することで、機能的歪み距離を定義する。
• 経路の持ち上げと高さ比較の技術を用い、ターゲットReeb図の経路をソース図の経路に関連付け、高さ歪みを2δ + 初期高さで上界付ける。
• FDDが関数的Gromov-Hausdorff距離の3倍以下に抑えられることを証明し、L∞-ノルムの摂動に対して安定性を確立する。
• マージツリーにおいてFDDがインタLeave距離と等価であることを示し、パーシステント理論における既存の結果と整合性を保証する。
• 特徴のパーシステンスが≤δであるものを削除する簡略化戦略にフレームワークを適用し、恒久的特徴が検出可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Reeb図に対して、入力関数の小さな摂動に対し安定性を保ちつつ、判別力を維持する距離を定義できるか？
• RQ2 機能的歪み距離は、特にボトルネック距離とどのように関係しているか？
• RQ3 マージツリーにおいて、機能的歪み距離は既存の距離（例：インタLeave距離）と等価か？
• RQ4 提案された距離に基づく簡略化の後でも、Reeb図の恒久的特徴は依然として恒久的であるか？
• RQ5 機能的歪み距離を用いて、Reeb図におけるトポロジカル特徴の安定性を厳密に境界付けることができるか？

主な発見

• 機能的歪み距離は、通常および拡張されたパーシステント図間のボトルネック距離によって下から抑えられ、パーシステント図単体よりも強い判別力を保証する。
• 機能的歪み距離は、入力関数のL∞-ノルム摂動に対して安定であり、パーシステント図と同等の安定性境界を持つ。
• マージツリーにおいて、機能的歪み距離はインタLeave距離と等価であり、既存の理論と整合性を保証する。
• パーシステンス≤δの特徴を削除する簡略化戦略を適用した場合、元のReeb図と簡略化されたReeb図のパーシステント図間のボトルネック距離は最大で9δである。
• より鋭い解析により、ボトルネック距離の境界が6δに改善され、元の図と簡略化された図の間のFDDは最大で2δである。
• 機能的歪み距離は、データ解析における実用的応用にとって不可欠な、Reeb図における特徴の安定性分析のための厳密な枠組みを提供する。