[論文レビュー] Meromorphic almost rigid geometric structures

Sorin Dumitrescu|ArXiv.org|May 29, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、複素多様体上のメロモーフィックなほぼ剛性幾何構造を調査し、その局所的キリングリー代数に注目して、ホロモーフィックな剛性幾何構造を備えるコンパクトな複素多様体を分類する。unimodularなメロモーフィック剛性構造がコンパクトな複素多様体上に存在する場合、キリング代数は有限次元的かつ推移的であることが示され、群作用を仮定しない状況でも強い分類結果が得られる。

ABSTRACT

We study the local Killing Lie algebra of meromorphic almost rigid geometric structures on complex manifolds. This leads to classification results for compact complex manifolds bearing holomorphic rigid geometric structures.

研究の動機と目的

• 複素多様体上のメロモーフィックなほぼ剛性幾何構造の局所的キリングリー代数の構造を理解すること。
• 特にユニモジュラーな構造を備えるホロモーフィック剛性幾何構造を有するコンパクトな複素多様体を分類すること。
• Gromov と Zimmer の「大きな」作用が剛性構造を保存するという予想を、複素解析的設定へと拡張すること。
• 等長群作用を仮定しない状況でも、ホロモーフィック剛性が強い構造的制約をもたらすことを示すこと。
• コンパクトな複素多様体上にユニモジュラーなメロモーフィック剛性構造が存在する場合、キリング代数が有限次元的かつ推移的であることを確立すること。

提案手法

• r次フレームバンドル $ R^r(M) $ から、代数的 $ D^r(\bbC^n) $-作用を備えた準射影的多様体への $ D^r(\bbC^n) $-同変写像として、r次元のメロモーフィック幾何構造を定義する。
• 剛性が稠密な開部分集合上で成り立つが、適切な解析的部分集合を除いては成り立たないという状況を「ほぼ剛性」として定義する。
• 正則部分集合上で一意にホロモーフィック体積形式を定義する構造をユニモジュラー構造と定義する。
• キリング場の条件 $[X, \nabla_Y Z] = \nabla_{[X,Y]} Z + \nabla_Y [X,Z]$ から導かれる微分方程式を用いて、このような構造の局所的キリングリー代数を分析する。
• Levi の拡張原理とメロモーフィック写像のcodimension-2不確定性を用いて、ビメリモーフィック写像の下で、メロモーフィック構造の引き戻しが依然としてメロモーフィックであることを示す。
• Riemann-Roch と Serre 対称性を適用して、極の制御された二次微分形式の空間の次元を計算し、分類に関する議論を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上のメロモーフィックなほぼ剛性幾何構造に対して、その局所的キリングリー代数の構造はいかなるものか？
• RQ2 コンパクトな複素多様体上にメロモーフィック剛性構造が存在する場合、どのような条件下でキリング代数が有限次元的かつ推移的になるか？
• RQ3 大きな群作用を仮定しない状況でも、ホロモーフィック剛性幾何構造の分類結果を得ることは可能か？
• RQ4 ビメリモーフィック写像の下で、メロモーフィック構造は非退化性およびユニモジュラー性とどのように関係するか？
• RQ5 ユニモジュラー性が、ホロモーフィックキリング場の存在および有限性に及ぼす影響は何か？

主な発見

• コンパクトな複素多様体上にメロモーフィックなほぼ剛性幾何構造が存在する場合、その局所的キリングリー代数は有限次元的かつ推移的である。
• ユニモジュラーなメロモーフィック剛性構造に対しては、キリング代数が有限次元的であり、正則部分集合上で推移的に作用する。
• 複素曲面上の一般なメロモーフィックアフィン接続は、非自明なホロモーフィックキリング場を持たないため、Gromov 意味での剛性が成立する。
• 一般なメロモーフィックアフィン接続に関連する射影接続が射影的に平坦であるための必要十分条件は、2つの不変量 $ L_1 $ と $ L_2 $ が消えることであるが、これは一般に成り立つ。
• 1つの極の位数が高々2のコンパクトなリーマン面上の二次微分形式の空間の複素次元は、Riemann-Roch と Serre 対称性により $ 3g - 1 $ に等しい。
• アフィン型のメロモーフィック剛性構造（例：メロモーフィックリーマン計量や接続）は、ビメリモーフィック写像の下で引き戻されても、例外的局所集合を除いて非退化性を保つ。