[論文レビュー] Meromorphic tensor categories

Yan Soibelman|ArXiv.org|Sep 19, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、パラメータ空間上の作用の層と braid 群作用を対称群作用の代わりに用いることで、擬テンソル圏の一般化としてメロモーフィックテンソル圏を導入する。カテゴリー的構造における有理的・メロモーフィック的・解析的結合的および交換的制約の枠組みを提案し、量子群、チャーラル代数、G-頂点代数への応用を含む、表現理論および conformal field theory における非結合的またはパラメータ依存の代数的演算の統一的公理的アプローチを提供する。

ABSTRACT

We introduce the notion of meromorphic tensor category and illustrate it in several examples. They include representations of quantum affine algebras, chiral algebras of Beilinson and Drinfeld, G-vertex algebras of Borcherds, and representations of GL over a local field. Hopefully the formalism will accomodate various tensor structures arising in relation to the quantized Knizhnik-Zamolodchikov equations and deformed CFT

研究の動機と目的

• 標準的な結合的性質が成り立たない場合に、有理的・メロモーフィック的・解析的結合的および交換的制約を備えたカテゴリー的構造の公理的枠組みを構築すること。
• 操作の集合をパラメータ空間上の層（またはメロモーフィックセクション）に置き換えることで、擬テンソル圏を一般化し、パラメータ依存の代数的関係を可能にすること。
• 対称群作用の代わりに操作に braid 群作用を組み込むことで、ブレード的またはチャーラル的カテゴリー的構造をモデル化すること。
• 量子アフィン代数、GL(n,F) の許容的表現、古典的および q-変形チャーラル代数、G-頂点代数などの例に対するカテゴリー的基盤を提供すること。
• 特に頂点代数や conformal field theory の文脈において、『有理的結合的性質』の概念を群作用を伴う代数的構造において統一的かつ形式的に定式化すること。

提案手法

• エッジの縮約を射とするラベル付き平面木の圏を用いて、厳密なモノイダル 2-オペラッドを定義する。
• 2-オペラッドの射 $ f $ に対して関手的写像 $ \phi_f $ を備えた、木 $ T $ によってインデックス付けられた操作集合の族 $ P_T(\{X_i\}, Y) $ を用いて、${\cal T}$-擬モノイダル圏を定義する。
• 木の合成に沿った操作の接合を記述する合成写像 $ \Phi $ を構成し、2-オペラッド構造に関して推移的であることを保証する。
• 対称群作用の代わりに操作に braid 群作用を組み込むことで、ブレード的またはチャーラル的構造を一般化し、対称モノイダル圏の一般化を実現する。
• 代数的群 $ G $ の $ G^n $ 上の有理関数やメロモーフィック関数の層を用いて操作を表現し、$ G^n $ の Zarsiki 開部分集合上で結合的性質が成り立つようにする。
• この枠組みを用いて、擬テンソル圏における Lie 代数を定義し、$ Lie^* $-代数と弱いチャーラル代数を区別し、チャーラル代数を単位を備えた特別な場合として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的結合的性質が成り立たない場合に、群作用を伴う代数的構造における有理的またはメロモーフィック結合的性質をどのように公理化できるか。
• RQ2 パラメータ依存の操作と braid 群の対称性を組み込んだ、対称モノイダル圏のカテゴリー的一般化は何か。
• RQ3 チャーラル代数や頂点代数は、メロモーフィック擬ブレード的圏における代数としてどのように再解釈できるか。
• RQ4 q-変形チャーラル代数は、$ q^n $ で特異点を持つ行列値関数を備えたメロモーフィック圏におけるブレード的構造として形式化可能か。
• RQ5 『局所的ヴィラソロ群』は、G-頂点代数をメロモーフィック擬テンソル G-圏における結合的代数として構成する際に果たす役割は何か。

主な発見

• 本稿は、パラメータ空間上の操作の層と braid 群作用を用いることで、擬テンソル圏の一般化としてメロモーフィックテンソル圏の形式的枠組みを確立した。
• 代数的群 $ G $ に対して $ G^n $ 上での操作の整合性を要請することで、有理的結合的性質の枠組みを提供し、結合的性質が $ G^n $ の Zarsiki 開部分集合上で成り立つようにした。
• G-頂点代数の構成は、操作が $ v^g = \exp(zL_{-1})v $ で定義されるメロモーフィック擬テンソル G-圏における結合的代数として解釈された。
• チャーラル代数は、自然な単位を備えた弱いチャーラル代数として特徴づけられ、${\cal D}$-加群理論を用いて任意の曲線への頂点代数の一般化を可能にした。
• 本稿の枠組みは、量子アフィン代数の有限次元表現や $ GL(n,\mathbf{F}) $ の許容的表現といった既知の例を、共通のカテゴリー的構造の下で統一した。
• 本稿は、$ q^n $ で特異点を持つ関数を備えたメロモーフィック ${\bf C}^*$-圏におけるブレード的 Lie 代数として、q-変形チャーラル代数をモデル化できることを示唆し、頂点代数における局所性の概念を拡張した。