[論文レビュー] Metaplectic tensor products for automorphic representations of $\widetilde{GL}(r)$

Shuichiro Takeda|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$n$重メタプレクティック被覆$\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$上の自動形式表現に対して、メゾの局所的構成を一般化したグローバルなメタプレクティックテンソル積を構成する。技術的仮定（$n=2$の場合は常に満たされる）のもとで、$\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 上の自動形式表現$\pi$の存在を証明し、それが局所的にメゾの局所的メタプレクティックテンソル積と同型であることを示し、正規性および中心に関する平方可積分性がこの構成で保存されることを示している。

ABSTRACT

Let $M=GL_{r_1} imes\cdots imes GL_{r_k}\subseteq GL_r$ be a Levi subgroup of $GL_r$, where $r=r_1+\cdots+r_k$, and $ ilde{M}$ its metaplectic preimage in the metaplectic cover $ ilde{GL}_r$ of $GL_r$. For automorphic representations $π_1,\dots,π_k$ of $ ilde{GL}_{r_1}(\A),\dots, ilde{GL}_{r_k}(\A)$, we construct an automorphic representation $π$ of $ ilde{M}(\A)$ which can be considered as the "tensor product" of the representations $π_1,\dots,π_k$. This is the global analogue of the metaplectic tensor product defined by P. Mezo in the sense that locally at each place $v$, $π_v$ is equivalent to the local metaplectic tensor product of ${π_1}_v,\dots,{π_k}_v$ defined by Mezo. Then we show that if all of $π_i$ are cuspidal (resp. square-integrable modulo center), then the metaplectic tensor product is cuspidal (resp. square-integrable modulo center). We also show that (both locally and globally) the metaplectic tensor product behaves in the expected way under the action of a Weyl group element, and show the compatibility with parabolic inductions.

研究の動機と目的

• $n$重メタプレクティック被覆$\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$上の自動形式表現に対して、P. メゾの局所的メタプレクティックテンソル積構成をグローバルな設定に拡張すること。
• 局所的・グローバルな整合性を確立し、各位においてグローバル構成がメゾの局所的テンソル積と一致することを保証すること。
• メタプレクティックテンソル積が、正規性および中心に関する平方可積分性といった重要な表現論的性質を保存することを証明すること。
• ウェイル群作用および放物型誘導の下でのテンソル積の振る舞いを調査すること。
• 特に$n>2$の場合に構成が適切に定義されるための条件を特定し、$n=2$のときまたは特定の$\gcd$条件を満たす場合にその条件が満たされることを示すこと。

提案手法

• $\pi = \widetilde{\otimes}'_v \pi_v$ として、各$\pi_v$が$\pi_{1,v}, \dots, \pi_{k,v}$ のメゾの局所的メタプレクティックテンソル積に同型であるような、局所的表現$\pi_v$の制限付きテンソル積としてグローバルなメタプレクティックテンソル積を構成する。
• $M$（レヴィ部分群）および被覆次数$n$に関する仮定($\ast$)を課し、グローバル構成の存在を保証する。この仮定は$n=2$の場合は常に満たされる。
• $\widetilde{\mathrm{GL}}_r$のメタプレクティック被覆およびその$\widetilde{\mathrm{GL}}_r$内での逆像$\widetilde{M}$の構造を用いて、局所成分との整合性を保つ形でグローバル表現を定義する。
• $n=2$のとき特に、$\widetilde{M}(\mathbb{A})$における算術的部分群の閉性および離散性に関する結果を適用し、得られる表現が自動形式的性質を有することを保証する。
• 制限付きテンソル積の構成を用いて、$\pi$を$\widetilde{M}(\mathbb{A})$上の自動形式の部分表現として定義し、$\pi_i$のユニタリ性および部分表現仮定を活用する。
• ウェイル群作用および放物型誘導の作用を分析し、テンソル積構成の整合性および不変性の性質を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 メゾの局所的メタプレクティックテンソル積構成は、$\widetilde{\mathrm{GL}}(r)$上のグローバルな自動形式的設定に拡張可能か？
• RQ2 $\widetilde{\mathrm{GL}}_{r_i}(\mathbb{A})$ 上の自動形式表現のグローバルなメタプレクティックテンソル積が、$\widetilde{M}(\mathbb{A})$ 上で適切に定義された自動形式表現をもたらすための条件は何か？
• RQ3 グローバルなメタプレクティックテンソル積は、入力表現の正規性を保存するか？
• RQ4 メタプレクティックテンソル積はウェイル群作用および放物型誘導の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 $n>2$に対して構成が有効であるための正確な数論的条件（$n$および分割$r = r_1 + \cdots + r_k$に関する条件）は何か？

主な発見

• グローバルなメタプレクティックテンソル積$\pi$は存在し、各$\pi_v$がメゾの局所的メタプレクティックテンソル積に同型である制限付きテンソル積$\widetilde{\otimes}'_v \pi_v$と同型である。
• すべての入力表現$\pi_1, \dots, \pi_k$が正規であれば、対応するグローバル表現$\pi$も正規である。
• すべての$\pi_i$が中心に関して平方可積分であれば、$\pi$も中心に関して平方可積分である。
• この構成はウェイル群作用と整合する。つまり、テンソル積はウェイル群による$\pi_i$の置換に従って期待通りに変化する。
• この構成は放物型誘導と整合する。標準的な誘導ファンクターの下で期待される構造が保存される。
• $n=2$のとき、技術的仮定($\ast$)は常に満たされ、追加の仮定なしに構成は有効である。$n>2$のとき、$\gcd(n, r-1+2cr)=1$などの条件下で成立する。