[論文レビュー] Method of multiple internal reflections in description of tunneling evolution through barriers

V. S. Olkhovsky, Sergei P. Maydanyuk|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2004

Geophysics and Sensor Technology参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非定常トンネル効果の解析のための多重内部反射法（MMIR）を提案する。この手法は、一次元および球対称な長方形ポテンシャル障壁を通過する波束の伝播を、障壁境界における多重反射を段階的に考慮することでモデル化する。本手法により、トンネル効果と反射のダイナミクスを時間分解能で解析可能となり、伝送および反射のS行列成分が別々に得られ、厚い障壁においてトンネル時間がある種の障壁幅に依存しなくなるハートマン＝フラチャー効果が示された。

ABSTRACT

A method of a non-stationary description of tunneling of a particle through the one-dimensional and spherically symmetric rectangular barriers on the basis of analisis of multiple internal reflections of wave packets in relation on the barrier boundaries, named as the Method of multiple internal reflections, is presented at the first time. For the one-dimensional problem the applicability of this method is proved, its specific features are analyzed. For the spherically symmetric problem the amplitudes of the transmitted and reflected wave packets, times of tunneling and reflection in relation to the barrier are calculated using this method. The effect of Hartman-Fletcher is analyzed.

研究の動機と目的

• 波束ダイナミクスを用いた、長方形ポテンシャル障壁を通過する量子トンネル効果を非定常的かつ時間依存的に解析する手法の開発。
• 波束が障壁境界で起こす多重内部反射を考慮することで、時間的・空間的分解能を有するトンネル効果の進化をモデル化すること。
• 本手法を球対称系に拡張し、3次元におけるトンネル効果と反射の解析を初めて可能にすること。
• 既知の定常状態の結果を再現し、トンネル時間（特にハートマン＝フラチャー効果）を解析することで、手法の妥当性を検証すること。
• 物理的波束進化に基づいてS行列を伝送成分と反射成分に自然に分解すること。

提案手法

• 本手法は、波束が障壁領域を段階的に伝播するのをモデル化し、有限性を保つために障壁内では指数関数的減衰成分（e^(-ξx)）のみを考慮する。
• 時間依存波束積分を用い、エネルギー重み関数G(E−Ē)を導入して入射波束、透過波束、反射波束を記述するが、ヘヴィサイドのステップ関数θ(V₁−E)により、障壁上位の寄与は除外する。
• 反射ステップごとに、反射波束、透過波束、内部波束を表す係数Aⁿ, Sⁿ, αⁿ, βⁿの再帰的関係式を用いて波束振幅を計算する。
• 全S行列はS = S_tr + S_refと分解され、それぞれが透過波束振幅と反射波束振幅に対応する。
• トンネル効果および反射の時間は位相の微分から導出され、τ_ph = (ħ/ħ) ∂argS/∂Eとして、伝播の時間的解析が可能となる。
• 無限大の障壁の極限および障壁上位散乱の極限において、定常状態の結果を再現できることから、本手法の妥当性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長方形ポテンシャル障壁を通過する波束のトンネル効果の進化を、完全な時間的・空間的分解能でどのように記述できるか？
• RQ2 波束の多重内部反射を体系的にモデル化することで、正確な透過および反射振幅を得られるか？
• RQ3 本手法は、トンネル時間が障壁幅に依存しなくなるハートマン＝フラチャー効果を正しく再現するか？
• RQ4 波束ダイナミクスに基づいて、S行列を伝送成分と反射成分に自然に分解できるか？
• RQ5 本手法は球対称系にどのように拡張可能であり、3次元トンネル効果にどのような知見を提供するか？

主な発見

• 本手法は、完全な時間的・空間的分解能を有する波束伝播を用いてトンネル効果の進化を成功裏にモデル化し、任意の時刻や空間点での解析が可能となった。
• 球対称障壁に対しては、S行列がS = S_tr + S_refと自然に分解され、それぞれが透過波束振幅と反射波束振幅に対応する。これは、従来実現されていなかった物理的に意味のある分離である。
• トンネル時間τ_tun^Phは、厚い障壁の極限において障壁幅に依存しなくなり、ハートマン＝フラチャー効果が確認された：τ_tun^Ph ≈ 2m/(ħkξ) + 4mR₁sin(2k₁R₁)(1−2cos(2k₁R₁))/(ħξ(1−cos(2k₁R₁)))。
• 障壁上位散乱では、反射時間τ_ref^Ph = 0となり、古典的期待と整合的であるが、トンネル時間は位相シフトと障壁パラメータに依存する。
• 無限大の障壁の極限および障壁上位散乱の極限において、定常状態の結果を再現でき、従来の量子力学との整合性が確認された。
• 本手法は、複雑な障壁形状（例：二重ヒュー​​プ障壁）の定常波動関数を効率的に計算可能であり、従来の定常手法に比べて優位性を示した。