[論文レビュー] Metric Geometry, Convexity and Collapsibility

Karim Adiprasito, Bruno Benedetti|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2011

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ひとこと要約

本稿は、単体的複体における距離幾何、凸性、および崩壊可能性の深い関係を確立する。CAT(0)複体で頂点星が凸である場合には、それが崩壊可能であることを証明し、また、多面体や星型多面体の線形分割は、有限回の重心分割を経て単体的崩壊可能になることを示す—これはリコリッシュとグッドリックが提起した長年の未解決問題を解決する。主な貢献は、CAT(0)計量を用いた崩壊的三角形分割の特徴付けであり、有界幾何をもつ球面や空間形の幾何的三角形分割に対する指数的上限の確立である。

ABSTRACT

Collapsibility is a classical notion introduced by Whitehead as part of his simple homotopy theory. We provide several results relating it to metric geometry and convexity. (1) Every complex that is CAT(0) with a metric for which all vertex stars are convex is collapsible. (2) Any linear subdivision of any polytope is simplicially collapsible after one barycentric subdivision. This solves up to one derived subdivision a classical question by Lickorish. (3) Any linear subdivision of any star-shaped polyhedron in R^s is simplicially collapsible after d-2 barycentric subdivisions at most. This presents progress on an old question by Goodrick. We furthermore provide the following applications: (1) Any simplicial complex admits a CAT(0) metric if and only if it admits collapsible triangulations. (2) All contractible manifolds (except for some 4-dimensional ones) admit collapsible CAT(0) triangulations. This provides a polyhedral version of a classical result of Ancel and Guilbault. (3) There are exponentially many geometric triangulations of S^d. This interpolates between the known result that boundaries of simplicial (d+1)-polytopes are exponentially many, and the conjecture that d-spheres are more than exponentially many. (4) In terms of the number of facets, there are only exponentially many geometric triangulations of space forms with bounded geometry. This establishes a discrete version of Cheeger's finiteness theorem.

研究の動機と目的

• 単体的複体における距離幾何、凸性、および崩壊可能性の相互作用を調査すること。
• 多面体や星型多面体の線形分割の崩壊可能性に関する古典的未解決問題を解明すること。
• 崩壊的三角形分割を用いて、CAT(0)計量をもつ単体的複体を特徴付けること。
• リーマン幾何における古典的有限性定理（例えばチエガーの有限性定理）の離散版を確立すること。

提案手法

• 単純ホモトピー論におけるホワイトヘッドの崩壊可能性の概念を基盤として用いる。
• CAT(0)計量条件と頂点星の凸性を適用し、複体の崩壊可能性を導出する。
• 重心分割を用いて、非崩壊的複体を崩壊可能なものに変換する。
• 多面体の境界や星型多面体に関する結果を活用し、必要な分割回数の上限を導出する。
• 幾何的および位相的議論を用いて、CAT(0)構造と崩壊可能性、および三角形分割の数の関係を明らかにする。
• 有界幾何をもつd次元球面や空間形の幾何的三角形分割の数に対する指数的上限を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような計量的および凸性条件下で、単体的複体が崩壊可能になるか？
• RQ2 多面体や星型多面体の線形分割を単体的崩壊可能にするために、重心分割を何回行う必要があるか？
• RQ3 どの可縮多様体が崩壊的CAT(0)三角形分割をもつか？
• RQ4 有界幾何をもつd次元球面や空間形に、いくつの幾何的三角形分割が存在するか？
• RQ5 CAT(0)計量の存在と崩壊的三角形分割の存在との間に、どのような関係があるか？

主な発見

• 任意の単体的複体がCAT(0)計量をもつための必要十分条件は、それが崩壊的三角形分割をもつことである。
• 4次元の一部を除くすべての可縮多様体は、崩壊的CAT(0)三角形分割をもつ。
• 任意の多面体の線形分割は、1回の重心分割を経ることで単体的崩壊可能になる。
• R^s内に埋め込まれた星型多面体の任意の線形分割は、最大d-2回の重心分割を経ることで単体的崩壊可能になる。
• d次元球面S^dには指数的数の幾何的三角形分割が存在する。
• 有界幾何をもつ空間形には、素因数の数（ファセット数）に関して指数的数の幾何的三角形分割しか存在しない。