[論文レビュー] Metrics for more than two points at once

David H. Wolpert|ArXiv.org|Apr 16, 2004

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、2点の間の距離に限らない、任意の数の点の分離度を測る一般化された距離関数（マルチメトリックと呼ばれる）を導入する。この手法により、確率分布の広がりの定量的評価が可能となり、複数の点集合や分布同士の比較にブートストラップを適用できる。これは、ペアワイズ距離の恣意的集約に対する原理的で整合性のある代替手法を提供する。

ABSTRACT

The conventional definition of a topological metric over a space specifies properties that must be obeyed by any measure of "how separated" two points in that space are. Here it is shown how to extend that definition, and in particular the triangle inequality, to concern arbitrary numbers of points. Such a measure of how separated the points within a collection are can be bootstrapped, to measure "how separated" from each other are two (or more) collections. The measure presented here also allows fractional membership of an element in a collection. This means it directly concerns measures of ``how spread out" a probability distribution over a space is. When such a measure is bootstrapped to compare two collections, it allows us to measure how separated two probability distributions are, or more generally, how separated a distribution of distributions is.

研究の動機と目的

• 2つを超える点の集合に適用可能なトポロジカル距離の一般化を形式化し、ペアワイズ距離の恣意的結合を回避すること。
• 多重集合や確率分布のような分数的所属を含む状況にまで拡張された三角不等式の一般化を実現し、広がりの統一的測度を可能とすること。
• 2つ以上の点集合や分布間の分離度を、ブートストラップされたマルチメトリックを用いて測定するフレームワークを提供すること。
• 標準的な統計的指標（標準偏差）がマルチメトリックである一方で、分散はそうでないことを示し、理論を既存の統計的概念と結びつけること。

提案手法

• マルチメトリックを、集合 X 上の非負関数の空間 R^X に値をとる実数値関数 ρ として定義し、3つの公理（非負性、単一の点に集中している場合に限り0、3ベクトルに対する一般化された三角不等式）を満たすものとする。
• T(X) ⊆ R^X の部分集合におけるすべての u, v, w に対して、ρ(u + v) ≤ ρ(u + w) + ρ(v + w) を満たす一般化された三角不等式を定式化し、多重集合や分数的所属を扱えるように拡張する。
• ベクトル空間構造と内積（例：⟨u|v⟩）を用いてマルチメトリックを定義・検証し、特に分散、最大値、サポート幅に基づく測度に対して適用する。
• ブートストラップを用いて、2つの集合 ξ₁ と ξ₂ 間のマルチメトリックを ρ(ξ₁ ∪ ξ₂) − ρ(ξ₁) − ρ(ξ₂) として定義し、2つの集合間の相対的分離度を測定可能にする。
• コーシー・シュワルツの不等式や凹性の性質を活用し、標準偏差やサポート幅といった特定関数がマルチメトリック公理を満たすことを証明する。
• 代数的検証により、R^N 上の確率分布の標準偏差がマルチメトリックとして有効である一方で、分散はそうではないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角不等式を2つを超える点の集合、多重集合、分数的所属に対しても一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 関数がマルチメトリックとみなされるために満たすべき条件は何か？ そして、従来の距離関数やノルムの性質とどのように関係するか？
• RQ3 分散や標準偏差といった標準的な統計的指標を、マルチメトリックとして再解釈できるか？ もしそうなら、どのような条件下で可能か？
• RQ4 2つの点集合や分布の集合間の分離度を測るために、マルチメトリックをどのようにブートストラップすればよいか？
• RQ5 このフレームワークは、確率分布の広がりの定量的評価や、分布の分布同士の比較にどのような意味を持つのか？

主な発見

• R^N 上の確率分布の標準偏差は、すべての3つの公理（非負性、単一の点に集中している場合に限り0、一般化された三角不等式）を満たすため、有効なマルチメトリックである。
• 分散は、反例と代数的解析により一般化された三角不等式を満たさないため、マルチメトリックではない。
• サポート（定義域）の幅（直径）は、定義上最大値と最小値の差として与えられ、マルチメトリック公理を満たす。
• 関数のサポート上での最大値はマルチメトリックであり、特定方向におけるサポートの幅に対しても同様に成り立つ。これは、ケース解析と最適化を用いた証明により示される。
• 非負で、凹かつ斉次な関数からテンソル縮約を用いてマルチメトリックを構成でき、このような構成は一般化された三角不等式を満たす。
• 2つの集合 ξ₁ と ξ₂ のブートストラップマルチメトリックは、ρ(ξ₁ ∪ ξ₂) − ρ(ξ₁) − ρ(ξ₂) として定義され、相対的分離度を定量的に測定可能であり、分布の分布への一般化も可能である。