[論文レビュー] Midy's Theorem for Periodic Decimals

Joseph Lewittes|ArXiv.org|May 7, 2006

History and Theory of Mathematics参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、Midyの定理を任意の基数に一般化し、周期長が3、4、それ以上の数で割り切れる場合にまで拡張する。周期が等長のブロックに分割されたとき、ブロックの和が $10^k - 1$（10進数では9の繰り返し）の倍数になることを証明する。主な貢献は、周期的展開における『相補性』が成り立つ条件を、合同算術と巡回分解を用いた包括的な枠組みで特徴づけることであり、分母と基数に関する明確な条件を提示する。

ABSTRACT

The decimal expansion of 1/7 is 0.142857142857..., the block 142857 repeating forever. We call 142857 the period and its length is 6 = 2x3. If the period is broken into 2 pieces each of length 3 which are then added, the result is 142 + 857 = 999; similarly 14 + 28 + 57 = 99. Other periodic decimals show the same phenomenon while others do not. The general question then arises: Let a/N be a fraction with denominator prime to 10, having decimal expansion with period length dk, if the period is broken into d pieces of length k which are then added, when will the sum be 99...9, a block of k 9's? In 1836 E. Midy published an article analyzing this question and gave sufficient conditions in certain cases. We put the problem in a more general setting, working in an arbitrary number base B, and obtain new results. However, some open questions still remain.

研究の動機と目的

• 中間の分母や偶数周期長に限らないMidyの定理を、合成数分母やより長い周期分割へ拡張すること。
• 周期的な基数$B$展開におけるブロックの和が $B^k - 1$（特に10進数では $10^k - 1$）の倍数となる条件を一般化した枠組みを確立すること。
• 繰り返し周期の $d$ 桁のブロックの和が、正確に $B^k - 1$（$k$ 個の9からなる文字列）に等しくなるための条件を特徴づけること。
• 長除法の過程における合同算術と巡回分解を用いて、Midy、Ginsbergらの先行研究を統一的かつ一般化すること。
• 定義された乗数 $m_d(x)$ を $S_d(x)/(B^k - 1)$ として特定し、異なる分子 $x$ に対して定数である条件を同定すること。

提案手法

• 基数 $B$ における長除法アルゴリズムを用いて、$x/N$ の周期的展開をモデル化し、剰余 $x_i$ と桁 $a_i$ を追跡する。
• 周期の $d$-サイクルにおける最初の $d$ 桁の和を $R_d(x)$ と定義し、これらの桁を連結して得られる整数を $S_d(x)$ と定義する。
• 合同算術を適用：$S_d(x) \equiv 0 \pmod{B^k - 1}$ が成り立つのは、$R_d(x) \equiv 0 \pmod{N}$ のときに限る。これにより、桁の和と割り切れる条件が結びつく。
• すべての $x \in N^*$ に対して $R_d(x) \equiv 0 \pmod{N}$ を満たす分母 $N$ の集合 $M_d(B)$ を定義し、乗数 $m_d(x) = R_d(x)/N$ を導入する。
• 乗法的位数 $e = \text{ord}_N(B)$ の構造を用いて、サイクルをより小さなサイクルに分解し、$d_1 \mid d_2 \mid e$ ならば $N \in M_{d_1}(B)$ ならば $N \in M_{d_2}(B)$ であることを証明する。
• $e = 2k$ のとき $B^k \equiv -1 \pmod{N}$ が成り立ち、$x_{k+1} \equiv -x_1 \pmod{N}$ となる。これにより $x_{k+1} = N - x_1$ が保証され、桁のペアの和が9になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数$B$における $x/N$ の周期の2つの等長ブロックの和が、$k$ 個の9からなる文字列に等しくなる条件は何か？
• RQ2 Midyの定理は周期長が3で割り切れる場合に一般化可能か？3つのブロックの和が $10^k - 1$ に等しくなる条件は何か？
• RQ3 乗法的位数 $e = \text{ord}_N(B)$ は、$N$ が $M_d(B)$ に属するかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 固定された $N$ と $d$ に対して、異なる分子 $x$ における乗数 $m_d(x) = S_d(x)/(B^k - 1)$ の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 なぜ $803$ ではMidyの性質が成り立たないが、$77$ では成り立つのか？その背後にある条件は何か？

主な発見

• $N \in M_2(10)$ のとき、$x/N$ の周期の2つの半分の和は正確に $10^k - 1$ に等しくなる。これはMidyの元々の定理の証明である。
• もし $N$ が素数または素数のべきであり、$e = \text{ord}_N(10)$ が偶数ならば、$N \in M_2(10)$ であり、すべての $x \in N^*$ に対してMidyの性質が成り立つ。
• $N \in M_3(10)$ かつ $e = 3k$ のとき、周期の3つの $k$ 桁ブロックの和が $10^k - 1$ に等しくなるのは、$m_3(x) = 1$ のときであり、これは $x = 1, 2$ および $x = 3$ に対して成り立つが、$N = 7$ のときは除く。
• $N \in M_d(B)$ かつ $d \mid e$ のとき、$m_d(x)$ はすべての $x \in N^*$ に対して一定であり、$d = 2$ のときは $m_d(x) = d/2$、$d = 3$ のときは特定の条件下で $m_3(x) = 1$ となる。
• $\gcd(N, 10^k - 1) = 1$ であるという条件が、なぜ $1/77$ はMidyの性質を満たす（$k=3$）が、$1/803$ は満たさない（$k=4$）のかを説明する。なぜなら $\gcd(803, 10^4 - 1) = 11 \neq 1$ であるからである。
• $N \in M_{d_1}(B)$ かつ $d_1 \mid d_2 \mid e$ ならば $N \in M_{d_2}(B)$ が成り立つ。これは、性質が乗法的位数 $e$ のより大きな約数へと伝搬されることを示している。