[論文レビュー] Milne and Torus Universes Meet

Andrew Waldron|ArXiv.org|Aug 11, 2004

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、トーラス宇宙 ($T^2 \times \mathbb{R}$) 上の三次元量子重力理論を、平坦なミンコフスキー時空の $Sl(2,\mathbb{Z})$ オルビフォールド上を運動する相対論的点粒子として再定式化する。得られる幾何構造は、三次元ミルン時空として特定される。主な貢献は、トーラス型3次元重力の計量モジュライ空間がミルン時空に同型であることを示し、その力学が相対論的点粒子作用に従い、宇宙定数が粒子の質量を決定することを示すことである。これにより、離散的同相性を伴う平坦な背景時空上での点粒子の測地線運動として、量子重力理論の新たな再定式化が可能になる。

ABSTRACT

Three dimensional quantum gravity with torus universe, T^2xR topology is reformulated as the motion of a relativistic point particle moving in an Sl(2,Z) orbifold of flat Minkowski spacetime. The latter is precisely the three dimensional Milne Universe studied recently by Russo as a background for Strings. We comment briefly on the dynamics and quantization of the model.

研究の動機と目的

• トーラス型空間トポロジー ($T^2 \times \mathbb{R}$) を持つ三次元量子重力理論を、点粒子系として再定式化すること。
• このような重力理論の計量モジュライ空間が、平坦なミンコフスキー時空の $Sl(2,\mathbb{Z})$ オルビフォールドとして特定され、特に三次元ミルン時空に一致することを同定すること。
• 重力的計量モジュライの力学と、平坦なローレンツ的背景時空上を運動する相対論的点粒子の測地線運動との間の対応関係を確立すること。
• 特に $Sl(2,\mathbb{Z})$ の下での自動形式波動関数とハミルトニアン制約を含む、量子化への影響を検討すること。
• 『第三量子化』やコボルディズム振幅を含む、3次元量子重力理論における高次の計算のための枠組みを提示すること。

提案手法

• トーラス $T^2 \times \mathbb{R}$ 上のアインシュタイン＝ヒルベルト作用素を、トーラス計量の共形類をパラメータ化する計量モジュライ $R$ と $U^M$ に還元することで、ミニスーパースペース作用素を導出する。
• ラプス関数 $N$ を用いて場の再定義 $\eta = R N$ を導入し、作用を質量平方 $4\Lambda$ の相対論的点粒子作用の形に再構成する。
• 計量モジュライ空間を、計量 $ds^2_{\mathfrak{M}} = -dR^2 + R^2 (d\tau_1^2 + d\tau_2^2)/\tau_2^2$ を持つ3次元ローレンツ的時空 $\mathfrak{M}$ として特定する。この空間は、$Z, X, Y$ への座標変換により平坦なミンコフスキー時空に等価であることが示される。
• モジュライ空間の上半平面パラメータ化に $Sl(2,\mathbb{Z})$ 同相性を適用し、ミルン時空のオルビフォールドが得られる。
• 得られた平坦なミンコフスキー背景時空を用いて、点粒子の測地線軌道を記述する。これは、3次元重力系の古典的解に一致する。
• ハミルトニアン制約 $(-\partial_Z^2 + \partial_X^2 + \partial_Y^2 + 4\Lambda)\Psi = 0$ を用いて量子理論を定式化し、物理的状態は $Sl(2,\mathbb{Z})$ の下で自動形式でなければならない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス型宇宙上での三次元量子重力理論は、どのように平坦な時空背景上を運動する点粒子系として再定式化可能か？
• RQ2 トーラス型3次元重力の計量モジュライ空間の幾何的構造は何か？ また、既知の時空とどのように関係するか？
• RQ3 重力系の古典的解は、導出された粒子モデルにおける測地線とどのように対応するか？
• RQ4 $Sl(2,\mathbb{Z})$ オルビフォールド構造が、理論の量子化に与える影響は何か？
• RQ5 この再定式化は、『第三量子化』のような高次元の量子重力的プロセスに関する新たな知見をもたらすか？

主な発見

• トーラス $T^2 \times \mathbb{R}$ 上の3次元重力理論の計量モジュライ空間は、適切な座標変換のもとで三次元ミルン時空に等長であることが示された。
• 重力系の力学は、質量平方 $4\Lambda$ の相対論的点粒子がこの平坦な時空上を運動する系と等価であり、測地線軌道が古典的解に対応する。
• カスナー解は、$Y=0$ 平面上の光的測地線として現れ、$\Lambda=0$ のとき、$-d\tau^2 + \tau (dx^1)^2 + (dx^2)^2$ に比例する計量を得る。
• デ de Sitter 解は、$X=Y=0$、$Z=2\sqrt{\Lambda}t$ のときの時空的測地線に対応し、定常状態計量 $-d\tau^2 + e^{2\sqrt{\Lambda}\tau}[(dx^1)^2 + (dx^2)^2]$ を得る。
• 負の $\Lambda$ の場合、タキオン的軌道によりアントィ・デ サイター空間の領域が得られ、$R=0$ で特異性を示す。これは有限時間での座標特異性を示す。
• 量子理論は、$(-\partial_Z^2 + \partial_X^2 + \partial_Y^2 + 4\Lambda)\Psi = 0$ の形をとるクライン＝ゴルドン型のハミルトニアン制約で支配され、物理的状態は $Sl(2,\mathbb{Z})$ の下で自動形式でなければならない。