[論文レビュー] Milnor fibers over singular toric varieties and nearby cycle sheaves

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi|ArXiv.org|Sep 18, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、近傍サイクル層と可 constructible 層を用いた層論的枠組みを導入し、特異的トーリック多様体上のミルナー繫合のモノドロミー zeta 関数を計算する手法を提示する。非特異的トーリック多様体に対する古典的公式（ Kushnirenko および Varchenko によるもの）を、任意のトーリック多様体へ一般化する。zeta 関数は、ニュートン多面体の各面を渡る積として表現され、格子距離と正規化体積を組み込む。非特異的でないトーリック多様体上での非退化関数に対しても明示的な公式が得られる。

ABSTRACT

We propose a new sheaf-theoretical method for the calculation of the monodromy zeta functions of Milnor fibrations. As an application, classical formulas of Kushnirenko and Varchenko etc. concerning polynomials on $\CC^n$ will be generalized to polynomial functions on any toric variety.

研究の動機と目的

• 元来 $\mathbb{C}^n$ 上の多項式に対して成り立つミルナーモノドロミー zeta 関数の古典的公式を、一般（非正規を含む）トーリック多様体上の多項式関数へ拡張すること。
• トーリック多様体上のミルナー繫合の計算における位相的困難を、特に近傍サイクル函手と可 constructible 層といった層論的道具を用いて克服すること。
• 関数のニュートン多面体とトーリック多様体のファイブの幾何に依存する、モノドロミー zeta 関数の統一的公式を提供すること。

提案手法

• 著者らは、ミルナー繫合のモノドロミーを、トーリック多様体上の $T$-軌道における可 constructible 層のコホモロジーと関連付けるために、近傍サイクル函手 $\psi_f$ を用いる。
• 各 $T$-軌道 $\overline{T_\Delta}$ の閉包を分析することで問題を分解し、各ストラトム上でモノドロミー zeta 関数を計算する。ここで $\Delta$ はニュートン錐 $K(\Sigma)$ の面である。
• 各面 $\Delta$ に対して、ニュートン多面体 $\Gamma_+(f)\cap\Delta$ のコンパクトな codimension 1 面 $\gamma_i^\Delta$ の $(\dim\Delta-1)$ 次元の正規化体積と、原点からの格子距離 $d_i^\Delta$ を用いて zeta 関数を計算する。
• この手法は、$T$-不変な可 constructible 層 $\mathcal{F}$ に依存し、座標ループに沿ったモノドロミー行列 $A_j^\Delta$ を用いて $B_i^\Delta = \prod_j (A_j^\Delta)^{u_{i,j}^\Delta}$ を定義する。ここで $u_i^\Delta$ は内法双対ベクトルである。
• 主要な公式は、$\Gamma_+(f)\cap\Delta \neq \emptyset$ を満たすすべての面 $\Delta$ を渡る積として、$\det(\mathrm{id} - t^{d_i^\Delta} B_i^\Delta)^{(-1)^{\dim\Delta-1} \mathrm{Vol}_\mathbb{Z}(\gamma_i^\Delta)}$ を含む形で表される。
• この手法は、導来圏と層コホモロジーの枠組み内で完全に展開されており、デリーニュの近傍サイクル形式主義を活用することで、古典的位相的複雑性を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ミルナー繫合のモノドロミー zeta 関数を $\mathbb{C}^n$ から特異的トーリック多様体へ一般化する方法は何か？
• RQ2 ニュートン多面体とその面は、非正規トーリック多様体上でのモノドロミー zeta 関数の計算において果たす役割は何か？
• RQ3 近傍サイクル層形式主義を用いて、トーリック多様体の $T$-軌道に添付されたストラトムに沿ったモノドロミー計算を分解できるか？
• RQ4 ニュートン多面体の面の格子距離と正規化体積は、zeta 関数の公式にどのように寄与するか？
• RQ5 関数が特異的トーリック多様体上で非退化である場合、モノドロミー zeta 関数の明示的表現は何か？

主な発見

• 非退化多項式 $f$ がトーリック多様体 $X(\Sigma)$ 上に存在する場合、そのモノドロミー zeta 関数 $\zeta_{f,0}(t)$ は、定理 1.1 で示されるように、$\Gamma_+(f)\cap\Delta \neq \emptyset$ を満たすニュートン錐 $K(\Sigma)$ のすべての面 $\Delta$ を渡る積として与えられる。
• 各 such 面 $\Delta$ に対して、寄与 $\zeta_\Delta(t)$ は、$\Gamma_+(f)\cap\Delta$ のコンパクトな codimension 1 面 $\gamma_i^\Delta$ を渡る積であり、指数は $(-1)^{\dim\Delta-1} \mathrm{Vol}_\mathbb{Z}(\gamma_i^\Delta)$ である。
• 各因子 $1 - t^{d_i^\Delta}$ の指数は、格子 $M(\Sigma \cap \Delta)$ 上の原点からの格子距離 $d_i^\Delta$ に依存する。
• この公式は、非正規トーリック多様体、特に非孤立特異点を含むものへも、ヴァルチェンコおよび Kushnirenko の古典的結果を一般化する。
• この手法は完全交差や $T$-不変可 constructible 層 $\mathcal{F}$ へも拡張可能であり、zeta 関数は $\zeta_f(\mathcal{F})(t) = \prod_{\Gamma_+(f)\cap\Delta \neq \emptyset} \zeta_{f,\Delta}(\mathcal{F})(t)$ と表される。各因子は $T_\Delta$ 上での $\mathcal{F}$ のモノドロミー行列 $B_i^\Delta$ を含む。
• 最終的な公式（定理 5.5）は、zeta 関数を明示的に $\prod_{\Gamma_+(f)\cap\Delta \neq \emptyset} \prod_{i=1}^{n(\Delta)} \det(\mathrm{id} - t^{d_i^\Delta} B_i^\Delta)^{(-1)^{\dim\Delta-1} \mathrm{Vol}_\mathbb{Z}(\gamma_i^\Delta)}$ として計算し、層論的設定への完全な一般化を提供する。