[論文レビュー] Mimicking the marginal distributions of a semimartingale

Amel Bentata, Rama Cont|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、局所的特性（ドリフト、拡散、ジャンプ成分）を用いて、不連続なセミマルティンググールの周辺分布を模倣するマルコフ過程を構築する手法を提案する。主な結果は、局所的特性の条件付き期待値に基づくマルコフ型投影を介して、非マルコフ的設定へコルモゴロフ前向き方程式を拡張した偏積分微分方程式（PIDE）による周辺密度の時間発展を示す。

ABSTRACT

We exhibit conditions under which the flow of marginal distributions of a discontinuous semimartingale $ξ$ can be matched by a Markov process, whose infinitesimal generator is expressed in terms of the local characteristics of $ξ$. Our construction applies to a large class of semimartingales, including smooth functions of a Markov process. We use this result to derive a partial integro-differential equation for the one-dimensional distributions of a semimartingale, extending the Kolmogorov forward equation to a non-Markovian setting.

研究の動機と目的

• ジャンプを伴う不連続なセミマルティングルに対して、Gyöngy（1986）の模倣定理を拡張すること。
• 与えられたセミマルティングルと同一の有限次元分布を持つマルコフ過程を、その局所的特性を用いて構築すること。
• 非マルコフ的設定における周辺密度の時間発展を記述する前向き方程式を導出すること。
• このようなマルコフ型投影が存在し、かつ局所マルティンゲール性を保つための条件を確立すること。
• 時間変換されたレヴィ過程およびマルコフ過程の関数への適用可能性を示すこと。

提案手法

• セミマルティングルの局所的特性から導かれる積分微分作用素のためのマルティンゲール問題の定式化を用いる。
• 模倣過程の無限小生成作用素は、元の過程のドリフト、拡散、ジャンプ強度の条件付き期待値を用いて定義される。
• 模倣過程は、状態依存係数を有する確率微分方程式の弱解として定義される：ドリフト = bα(t,x)，拡散 = σ√α(t,x)，レヴィ測度 = α(t,x)ν(dy)。
• 解の存在および一意性は、条件付き期待値 α(t,x) = E[θ_t | ξ_{t-} = x] に対する連続性および有界性条件に依存する。
• 周辺密度 p_t に対する前向き方程式 ∂p_t/∂t = L^*_t . p_t が、生成作用素の随伴作用素 L^*_t を用いて導出される。
• 本手法は、ポアソン確率測度を用いたジャンプ表現および状態依存時間変換を伴う時間変換レヴィ過程に適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不連続なセミマルティングルの周辺分布を正確に再現するマルコフ過程を構築できるか？
• RQ2 特に過程にジャンプが存在する場合、セミマルティングルのマルコフ型投影が存在する条件は何か？
• RQ3 ジャンプを伴う非マルコフ過程に対して、コルモゴロフ前向き方程式をどのように一般化できるか？
• RQ4 模倣構成は、元の過程の局所マルティンゲール性を保つのか？
• RQ5 時間変換されたレヴィ過程は、状態依存特性を有するアフィン過程として、どの程度まで周辺分布を再現できるか？

主な発見

• 条件付き期待値 α(t,x) = E[θ_t | ξ_{t-} = x] が有界かつ連続である限り、区間 [0,T] において元のセミマルティングル ξ と同一の有限次元分布を持つマルコフ過程 X が存在する。
• ξ_t の周辺密度 p_t は、局所的特性を用いて定義される生成作用素の随伴作用素 L^*_t を用いて、前向き偏積分微分方程式 ∂p_t/∂t = L^*_t . p_t を満たす。
• 模倣過程 X は、係数 bα(t,x)，σ√α(t,x)，強度 α(t,x)ν(dy) を有する確率微分方程式の弱解として構成され、これにより同じ周辺分布が保証される。
• この構成は、元の過程 ξ がマルティンゲールでない場合でも、局所マルティンゲール性を保つ。
• 本手法は、滑らかなマルコフ過程の関数や時間変換レヴィ過程を含む広範な過程クラスに適用可能である。
• 解析により、状態依存特性の線形性の制限により、時間変換レヴィ過程はアフィンモデルに比べ周辺分布の再現においてやや柔軟性に欠けることが示された。