[論文レビュー] Min-Max Regret Problems with Ellipsoidal Uncertainty Sets

André Chassein, Marc Goerigk|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、楕円型の不確実性集合を用いた最小最大レジーム組合せ最適化問題の正確な解法手法を提案し、スナップショット緩和に用いる2種類のカットと2種類の線形化技術を導入する。主な貢献は、タイプ2カットとサブプロブレム線形化Bが他の手法を顕著に上回ることであり、特に密集した偏差行列に対しては、実用的に高速な最適解が得られる。

ABSTRACT

We consider robust counterparts of uncertain combinatorial optimization problems, where the difference to the best possible solution over all scenarios is to be minimized. Such minmax regret problems are typically harder to solve than their nominal, non-robust counterparts. While current literature almost exclusively focuses on simple uncertainty sets that are either finite or hyperboxes, we consider problems with more flexible and realistic ellipsoidal uncertainty sets. We present complexity results for the unconstrained combinatorial optimization problem and for the shortest path problem. To solve such problems, two types of cuts are introduced, and compared in a computational experiment.

研究の動機と目的

• 有限またはハイパーボックス型の不確実性集合以外の柔軟で現実的である不確実性集合を用いた最小最大レジーム問題に関する研究の不足を解消すること。
• 特に非制約問題および最短経路問題に対して、楕円型不確実性集合下での最小最大レジーム問題の計算複雑性を調査すること。
• 2種類のカットと2種類のサブプロブレム線形化を用いた、スナップショット緩和に基づく有効な正確な解法アプローチの開発と比較を行うこと。
• 非制約問題および最短経路問題に対して、これらの手法の性能を計算的に評価すること。
• 特定のカットタイプや線形化戦略が、行列の密度や偏差行列Cの値の大きさに応じて顕著に性能向上を示す条件を同定すること。

提案手法

• 組合せ最適化問題のロバストな対応として、軸に平行な楕円型および一般楕円型の不確実性集合を用いて最小最大レジーム問題を定式化する。
• スナップショット緩和手順において、繰り返し最悪ケースのシナリオ集合を精緻化するために、2種類のカット（タイプ1およびタイプ2）を導入する。
• 与えられた解に対する最悪ケースシナリオを特定するサブプロブレムを解くために、2種類の線形化技術（AおよびB）を提案する。
• 最悪ケースシナリオがサブプロブレムによって特定されたのち、動的にカットを生成するブランチアンドカットフレームワークを採用する。
• 複数のインスタンスクラスにおいて、C1-A、C1-B、C2-A、C2-Bの各解法アプローチの計算効率を性能プロファイル分析により比較する。
• 1インスタンスあたりの時間制限を900秒とし、CPLEXにおける数値的失敗はすべて時間制限超過として評価に含める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限またはハイパーボックス型の不確実性集合と比較して、楕円型不確実性集合を用いた場合、最小最大レジーム問題の計算複雑性はどのように変化するか？
• RQ2 特に非制約問題および最短経路問題に対して、楕円型不確実性を伴う最小最大レジーム問題のための効率的な正確なアルゴリズムを開発可能か？
• RQ3 楕円型不確実性において、スナップショット緩和の反復回数を減らし、収束を速めるために、タイプ1またはタイプ2のカットのどちらが優れているか？
• RQ4 最悪ケースシナリオの生成において、サブプロブレム線形化AまたはBのどちらがより優れた性能と数値的安定性を示すか？
• RQ5 行列の密度や偏差行列Cの値の大きさに応じて、解法アプローチの性能が顕著に向上する条件は何か？特に、C2-Bの性能が顕著に優れる状況はどのようなものか？

主な発見

• 非制約問題において、タイプ2カットはタイプ1カットを顕著に上回り、特に偏差行列Cが密集しており大きな値を有する場合、必要な反復回数が著しく減少する。
• 最悪ケースシナリオサブプロブレムを解く際、線形化Bは常に線形化Aを上回り、全体の収束が速くなる。
• C2-B解法アプローチ（タイプ2カットと線形化Bの組み合わせ）は、非制約問題において最も優れた全体的性能を示し、900秒の時間制限内により多くのインスタンスを解ける。
• 最短経路問題では、C2-Bの性能優位性は非制約問題ほど顕著ではないが、タイプ2カットがしばしば不可解となるため、依然として他の組み合わせを上回る。
• 線形化Bに大きなbigM定数が含まれるため、CPLEXにおける数値的不安定性が原因で5つのインスタンスで失敗し、これらはすべて時間制限超過としてカウントされた。
• C2-Bと他の手法との性能差は、Cに大きな値を有する密集行列において最も顕著であり、最適解を得るために必要なカットはy=0およびy=1の2つにまで減少する。