[論文レビュー] Minimal classes of graphs of unbounded clique-width defined by finitely many forbidden induced subgraphs

Aistis Atminas, Robert Brignall+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2015

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2010年のDaligault, Rao, and Thomasséによる予想を反証する、2つの新しい最小の遺伝的グラフクラス——二分鎖グラフとスプリット順列グラフ——を同定する。これらはクリーク幅が有界でないが、有限個の禁止部分グラフによって定義されており、それらは最小の遺伝的クラスとしての性質を持つ。著者らはさらに、2つの非比較可能なラベルを用いて、両クラスに一意なラベル付き無限反鎖が存在することを示し、クリーク幅と整列順序の関係に関する予想を強化する。

ABSTRACT

We discover new hereditary classes of graphs that are minimal (with respect to set inclusion) of unbounded clique-width. The new examples include split permutation graphs and bichain graphs. Each of these classes is characterised by a finite list of minimal forbidden induced subgraphs. These, therefore, disprove a conjecture due to Daligault, Rao and Thomasse from 2010 claiming that all such minimal classes must be defined by infinitely many forbidden induced subgraphs. In the same paper, Daligault, Rao and Thomasse make another conjecture that every hereditary class of unbounded clique-width must contain a labelled infinite antichain. We show that the two example classes we consider here satisfy this conjecture. Indeed, they each contain a canonical labelled infinite antichain, which leads us to propose a stronger conjecture: that every hereditary class of graphs that is minimal of unbounded clique-width contains a canonical labelled infinite antichain.

研究の動機と目的

• Daligault, Rao, and Thomassé (2010) が提起した予想、すなわち、すべての最小の遺伝的クラスでクリーク幅が有界でないものについては、無限個の禁止部分グラフによって定義されなければならない、という予想に反論すること。
• 上記の著者らが提起した第二の予想が示唆するように、このような最小クラスが一意なラベル付き無限反鎖を含むかどうかを調査すること。
• 二分鎖グラフとスプリット順列グラフが、有限個の禁止部分グラフによって定義される、クリーク幅が有界でない最小の遺伝的クラスであることを確立すること。
• これらのクラスに、2つの非比較可能なラベルのみを用いて一意なラベル付き無限反鎖が存在することを示し、クリーク幅と整列順序の関係に関する強化された予想を支持すること。

提案手法

• 二分鎖グラフとスプリット順列グラフを、最小の禁止部分グラフの有限集合によって特徴づけ、それらが遺伝的かつクリーク幅が有界でないクラスとして最小であることを証明すること。
• グリッドベースの構成を用いて二分鎖グラフの普遍グラフを構築し、誘導部分グラフの閉包性と無限反鎖の形成を示すこと。
• 二分鎖グラフのクラスがクリーク幅が有界でないことを示すために、クリーク幅が無限に増大するグラフの列を含むことにより証明すること。
• 2つの非比較可能なラベルを用いて、{T_k^∘} というラベル付き無限反鎖を定義し、各グラフが連続する頂点ペアに特定のパターン（例：P_4 または 2K_2）を埋め込むこと。
• 任意の遺伝的部分クラスがその反鎖と有限個のグラフしか共通部分を持たない場合、そのクラスがラベル付き整列順序であることを示すことにより、反鎖の一意性を確立すること。
• 既知の順列クラスに関する結果と Widdershins 反鎖を活用し、スプリット順列グラフにおける反鎖の一意性を支援すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クリーク幅が有界でない最小の遺伝的クラスで、有限個の禁止部分グラフによって定義されるものが存在するか。これは、2010年のDaligault, Rao, and Thomasséによる予想に反する。
• RQ2 このような最小クラスは、上記の著者らが提起した第二の予想が示唆するように、一意なラベル付き無限反鎖を含む必要があるか。
• RQ3 一意なラベル付き無限反鎖の存在が、クリーク幅が有界でないクラスと整列順序の関係を強化する予想を強化するために利用可能か。
• RQ4 2つの非比較可能なラベルを用いた一意なラベル付き無限反鎖の存在は、すべての最小の遺伝的クラスでクリーク幅が有界でないクラスの普遍的特徴であるか。

主な発見

• 二分鎖グラフのクラスは、クリーク幅が有界でない最小の遺伝的クラスであり、有限個の禁止部分グラフによって特徴づけられる。
• スプリット順列グラフのクラスも、同様にクリーク幅が有界でない最小の遺伝的クラスであり、有限個の禁止部分グラフによって定義される。
• 両クラスは、2つの非比較可能なラベルのみを用いて一意なラベル付き無限反鎖を含む。これは、{T_k^∘} の系列によって示された。
• 両クラスにこのような反鎖が存在することは、強化された予想を強く支持する。すなわち、すべての最小の遺伝的クラスでクリーク幅が有界でないクラスは、最大2つの非比較可能なラベルを用いた一意なラベル付き無限反鎖を含む。
• 本研究の結果は、2010年の予想（すべての最小クラスが無限個の禁止部分グラフによって定義されなければならない）を反証する。
• これらの発見は、一意なラベル付き無限反鎖が、クリーク幅が有界でない最小クラスの構造的特徴である可能性を示唆し、クリーク幅と整列順序の関係をより深く結びつける。