[論文レビュー] Minimal group determinants and the Lind-Lehmer problem for dihedral groups

Ton Boerkoel, Christopher Pinner|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、整数変数における最小非自明な群行列式を計算することにより、二面体群における Lind-Lehmer 問題を解決する。$ D_{2n} $ に対して $ n $ が大きな primorial の積で割り切れない場合、最小行列式は $ \boxed{2} $ であることが示され、$ D_{2p} $ および $ D_{4p} $ に対して Mahler 測度および結果式理論を用いて行列式の可能な値を完全に特徴づける。

ABSTRACT

We find the minimal non-trivial integer variable group determinant for any dihedral group of order less than $3.79 imes 10^{47}$. We think of this as the Lind-Lehmer problem for the dihedral group. We give a complete description of the determinants for some dihedral groups including $D_{2p}$ and $D_{4p}$.

研究の動機と目的

• 二面体群 $ G = D_{2n} $ に対して、最小非自明な整数群行列式 $ \lambda(G) $ を決定し、巡回群を超えた Lind-Lehmer 問題を拡張する。
• $ p $ を奇素数とするとき、$ D_{2p} $ および $ D_{4p} $ に対して可能な群行列式値の完全な集合を特徴づける。
• $ n $ が大きな primorial の積で割り切れない場合、$ \lambda(D_{2n}) = 2 $ であることを確立し、最小非自明行列式が 2 に等しいことを示す。
• Mahler 測度および結果式理論を用いて、群行列式を単位根の積として解析し、分 cyclotomic 多項式の数論的性質と関連付ける。
• 群行列式写像の $ \mathbb{Z} $ 上での像の構造を解明し、偶数の行列式が特定の $ 2 $-進および $ p $-進付値に制限されることを示す。

提案手法

• 群行列式 $ \mathscr{D}_G(x_g) $ は、$ \mathscr{D}_G = \prod_{\rho \in \hat{G}} \det\left( \sum_g x_g \rho(g) \right)^{\deg \rho} $ として、既約表現を介して積に表現され、代数的解析が可能になる。
• $ D_{2n} $ に対して、特に対称関数および cyclotomic 多項式 $ \Phi_n(x) $ を用いて、キャラクターと関連して行列式を評価し、Mahler 測度 $ m_G(F) = \frac{1}{|G|} \log |M_G(F)| $ を計算する。ここで $ M_G(F) = \mathscr{D}_G(a_g) $ である。
• 結果式を用いて、単位根上での行列式の絶対値を計算する：$ \operatorname{Res}(H(x), \Phi_n(x)) $。特に $ H(x) = f(x)f(x^{-1}) - g(x)g(x^{-1}) $ の場合に、$ p $-進および $ 2 $-進付値を制御する。
• $ D_{2p} $ に対して、$ M_G(F) $ が $ 2^a p^b m $ の形（$ a = 0 $ または $ a \geq 2 $、$ b = 0 $ または $ b \geq 2k+1 $、$ (m, 2p) = 1 $）をすべて取り得るような明示的なローレンツ多項式 $ F(x,y) = f(x) + y g(x) $ を構成する。
• $ D_{2^k} $ に対しては、対称多項式および幾何級数の恒等式を用いて $ 2 $-進付値を制御し、$ \mathscr{E} \subseteq 2^{2k+2}\mathbb{Z} $ および $ 2^{3k}\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} $ を示し、明示的な構成によりすべての値が達成されることを示す。
• 恒等式 $ \mathscr{D}_G(a_g) = \prod_{x \in G} \left| \sum_{u \in G} a_u \chi_x(u) \right| $ を用いて、行列式をキャラクターの積に還元し、有限アーベル群上の Mahler 測度と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二面体群 $ D_{2n} $ に対して、整数変数における最小非自明な群行列式 $ \mathscr{D}_G(x_g) $ は何か？ また、それが何時 $ 2 $ に等しくなるか？
• RQ2 $ D_{2p} $ および $ D_{4p} $ のどの群に対して、可能な群行列式値の完全な集合を完全に記述できるか？
• RQ3 $ D_{2n} $ に対して、群行列式の $ 2 $-進および $ p $-進付値はどのように振る舞い、行列式写像の像にどのような制約を課えるか？
• RQ4 $ D_{2^k} $ に対して、群行列式は $ 2 $-進付値の観点から完全に特徴づけられるか？ また、可能な値の正確な範囲は何か？
• RQ5 ローレンツ多項式の結果式は、二面体群の Mahler 測度および群行列式の計算にどのように寄与するか？

主な発見

• $ n $ が $ 2^2 \cdot 3^2 \cdot \prod_{5 \leq p \leq 113} p \approx 1.89 \times 10^{47} $ で割り切れない二面体群 $ D_{2n} $ に対して、最小非自明な群行列式は $ \lambda(D_{2n}) = 2 $ である。これは、このクラスに対して Lind-Lehmer 予想が正当化されることを示す。
• $ D_{2p} $ に対して、群行列式は $ 2^a p^b m $ の形（$ a = 0 $ または $ a \geq 2 $、$ b = 0 $ または $ b \geq 2k+1 $、$ (m, 2p) = 1 $）をすべて取り得る。すべてのこのような値が実現可能である。
• $ D_{4p} $ に対して、群行列式は $ 2^a p^b m $ の形（$ a = 0 $ または $ a \geq 2 $、$ b = 0 $ または $ b \geq 3k $、$ (m, 2p) = 1 $）をすべて取り得る。明示的な構成が提供されている。
• $ k \geq 3 $ に対して $ D_{2^k} $ では、群行列式写像の像 $ \mathscr{E} $ に対して $ 2^{3k}\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} \subseteq 2^{2k+2}\mathbb{Z} $ が成り立ち、すべての値が多項式の構成により達成される。
• $ D_8 $ に対して、偶数の行列式は $ 2^9\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} \subseteq 2^8\mathbb{Z} $ を満たし、欠落している $ 2^8 $-倍数は $ M_G(F) = \pm 2^8(4k+1) $ を用いて達成される。明示的な多項式が与えられている。
• $ D_{16} $ に対して、偶数の行列式は $ 2^{12}\mathbb{Z} \subseteq \mathscr{E} \subseteq 2^{10}\mathbb{Z} $ を満たし、$ M_G((1+x^2)(1+x^4) - (1-x)) = 2^{10} $ のような構成により、この範囲のすべての値が達成される。