[論文レビュー] Minimal length elements in conjugacy classes of extended affine Weyl group

Xuhua He|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 25被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、古典的型の拡張アフィンワイル群の共役類における最小長さ元を調査し、型AおよびCにおいてそのような元が「良い」—つまり $ l(w^n) = nl(w) $ を満たす—ことを確立する。部分的共役作用と $ P $-作用素を用いて、最小長さ代表元を構成し、拡張アフィンヘッケ代数およびループ群に応用し、特にアフィンデリーニュ＝ルシュティグ多様体と $ \tilde{W} $-共役類の文脈で応用する。

ABSTRACT

We study the minimal length elements in an integral conjugacy class of a classical extended affine Weyl group and we show that these elements are quite "special" in the sense of Geck and Pfeiffer \cite{GP93}. We also discuss some application on extended affine Hecke algebras and loop groups.

研究の動機と目的

• 拡張アフィンワイル群の古典的型における共役類内の最小長さ元を特徴づける。
• そのような最小長さ元が「良い」—すなわち、べき乗作用の下で長さを保存する—こと、特に型AおよびCで成り立つことを証明する。
• ジークとプファイファーのキャラクター表構成の枠組みを拡張アフィンヘッケ代数へと拡張する。
• ループ群 $ J_{b, ho} $ がアフィンデリーニュ＝ルシュティグ多様体のボレル＝モアレホモロジーに及ぼす作用を分析する。
• $ \tilde{W}_{\text{good}} $ とその $ \tilde{W}_{\text{m}} $、すなわち最小長さ元との関係に関する構造的結果を確立する。

提案手法

• ヘ（2011）の部分的共役作用を用いて、$ W $-共役類内での長さを短くして最小長さに還元する。
• $ P $-作用素を導入し、異なる $ W $-共役類を関連づけ、最小長さ代表元の完全なリストを構成する。
• ブルア順序と単純反射による長さ減少共役を用いて、最小長さ元への収束を示す。
• $ b $ におけるねじれ共役の下での安定化部分群 $ J_{b, ho} $ の構造を分析する。特に $ b = \tau $ または $ \tau = t^{\text{dominant regular coweight}} $ の場合を扱う。
• ラングの定理を適用して $ J_{\tau\rho} / (J_{\tau\rho} \bigcap I) \to \text{finite group} $ を示し、ホモロジー上での作用が自明であることを証明する。
• $ \tilde{W}_{\text{m}} $ および $ \tilde{W}_{\text{good}} $ の構造を活用し、拡張アフィンヘッケ代数の類多項式を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張アフィンワイル群の古典的型における共役類内の最小長さ元は、'良い'—すなわち $ l(w^n) = nl(w) $ を満たす—か？
• RQ2 アフィンワイル群の任意の元は、長さを減少させる共役によって最小長さ代表元に還元可能か？
• RQ3 ループ群におけるねじれ共役の下での $ b $ の安定化部分群 $ J_{b\rho} $ の構造は何か？ そして、ホモロジーにどのように作用するか？
• RQ4 特徴的な共役類における最小長さ元は、型AおよびCにおける良い元とどのように関係するか？
• RQ5 ジークとプファイファーのキャラクター表構成は、最小長さ元を用いて拡張アフィンヘッケ代数へ一般化可能か？

主な発見

• 古典的型では、アフィンワイル群 $ W_a $ の任意の元は、単純反射による共役によってその共役類内の最小長さ元に還元可能である。
• 同じ共役類に属する任意の2つの最小長さ元は「強く共役」である—すなわち、長さを弱く減少させる共役の系列によって関連づけられる。
• 型AおよびCでは、特徴的な共役類内の任意の最小長さ元は「良い」元であり、すべての $ n \in \mathbb{N} $ に対して $ l(w^n) = nl(w) $ を満たす。
• $ b = t^\chi $ で $ \chi $ がドミナント正則コワイトである場合（型AまたはC）、$ J_{b\rho} = T(L)^{\delta_F} $ であり、$ J_{b\rho} \cap I = T(o)^{\delta_F} $ は $ X_{\tilde{w},\delta_F}(b) $ のボレル＝モアレホモロジーに自明に作用する。
• $ \tau = t^{\omega_r} w_{S\setminus\{r\}} w_S $ で $ \gcd(n,r)=1 $ の場合、$ J_{\dot{\tau},\delta_F}/(J_{\dot{\tau},\delta_F} \cap I) \cong \Omega $ であり、ここで $ \Omega = \{ \tilde{x} \in \tilde{W} \mid l(\tilde{x}) = 0 \} $ であり、ホモロジー上での作用は自明である。
• 拡張アフィンヘッケ代数の類多項式は、最小長さ元を用いて定義され、ジークとプファイファーの有限の場合の構成を一般化する。