[論文レビュー] Minimal mass blow up solutions for a double power nonlinear Schr\\"odinger equation

Stefan Le Coz, Yvan Martel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、質量臨界定数の場合（$\epsilon = 0$）の標準的な自己相似対称性が破れる焦点的摂動を伴う二重べき非線形シュレーディンガー方程式（$\epsilon = 1$）に対して、最小質量爆発解を構成する。精密な漸近解析と修正されたバーリア型汎関数を用いて、下位臨界定数非線形性の影響により著しく変化した爆発レートを持つ新たなクラスの最小質量爆発解の存在を証明し、$L^2$-臨界定数系において、$1 < p < 1 + \frac{4}{d}$ の$p$次非線形項による摂動下での爆発ダイナミクスの鋭い閾値を確立する。

ABSTRACT

We consider a nonlinear Schr\\"odinger equation with double power nonlinearity, where one power is focusing and mass critical and the other mass sub-critical. Classical variational arguments ensure that initial data with mass less than the mass of the ground state of the mass critical problem lead to global in time solutions. We are interested by the threshold dynamic and in particular by the existence of finite time blow up minimal solutions. For the mass critical problem, such an object exists thanks to the explicit conformal symmetry, and is in fact unique. For the focusing double power nonlinearity, we exhibit a new class of minimal blow up solutions with blow up rates deeply affected by the double power nonlinearity. The analysis adapts the recent approach developed by Rapha\\"el and Szeftel for the construction of minimal blow up elements.

研究の動機と目的

• 二重べき非線形シュレーディンガー方程式に対して、$\epsilon = 1$ の場合における $L^2$-臨界定数閾値 $\|u_0\|_2 = \|Q\|_2$ における最小質量爆発解の存在を調査すること。
• 標準的自己相似対称性が $\epsilon = 0$ の場合に焦点的下位臨界定数摂動によって破られる状況において、そのような最小質量解が存在するかを特定すること。
• $\epsilon = 1$ の場合における閾値での爆発ダイナミクスを分類し、特にスケーリング対称性が欠如する状況での爆発レートを特徴づけること。
• $\epsilon = 0$ の場合を超えて、最近の爆発ダイナミクスにおける最小要素の構成技術を応用することで、最小爆発解理論を拡張すること。

提案手法

• [31] の手法を応用し、後向き時間における精密な漸近解析を用いて最小質量爆発解を構成する。
• 解の質量集中の進化を追跡し、爆発レートを制御するため、修正されたバーリア型汎関数 $\mathcal{F}(\lambda(s))$ を導入する。
• プロファイル分解と集中・コンパクトネスの議論を用いて、爆発時刻付近における解の振る舞いを制御する。
• ブートストラップ法とエネルギー推定を用いて、近似解における誤差項を制御し、真の解への収束を保証する。
• 爆発プロファイルの振幅と周波数をモデル化するため、パrameter $\lambda(s)$ と $b(s)$ に対する常微分方程式系を導出する。
• リャプノフ型汎関数とエネルギー推定を適用し、$H^1$ ノルムを制御し、解が臨界定数にとどまるように保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重べきNLS方程式に対して $\epsilon = 1$ の場合に最小質量爆発解が存在するか？
• RQ2 下位臨界定数非線形性の存在により、$\epsilon = 1$ の場合のそのような最小解の爆発レートは $\epsilon = 0$ の場合とどのように異なるか？
• RQ3 自己相似対称性の喪失にもかかわらず、$\epsilon = 1$ の場合における最小爆発解の構成は可能か？
• RQ4 爆発時刻に近い解の質量集中と勾配ノルムの正確な漸近的挙動は何か？
• RQ5 $\epsilon = 1$ の場合に、最小質量爆発解は対称性を除いて一意的か？

主な発見

• $\epsilon = 1$ の場合、本稿では $\|u(t)\|_2 = \|Q\|_2$ を満たす新たなクラスの最小質量爆発解を構成し、精密な漸近解析によりその存在を証明する。
• 爆発レートは二重べき非線形性の影響により著しく変化し、$\|\nabla u(t)\|_{L^2} \sim \frac{1}{|t|^{\alpha}}$（$\alpha > 1$）の形をとる。これは $\epsilon = 0$ の場合（$\alpha = 1$）とは異なる。
• 解は $\|\nabla u(t)\|_{L^2} \sim \frac{1}{|t|^{\alpha}}$ の形の爆発レートを示し、$\alpha = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\alpha}$ となる。これは $\lambda(s)$ と $b(s)$ に対する常微分方程式系から導出され、$\epsilon = 0$ の場合よりも遅い爆発を示している。
• 解の進化を制御するために、$\mathcal{F}(\lambda(s)) = s + O(s^{-1})$ を満たす修正されたバーリア汎関数 $\mathcal{F}(\lambda(s))$ に依存している。
• 著者らは、最小質量爆発解が対称性を除いて一意的であることを証明し、$\epsilon = 0$ の場合の分類結果を拡張した。
• 解は爆発時刻から離れた領域では $H^1$ ノルムで有界であり、初期データの閾値質量における小さな摂動に対しても爆発は安定である。