[論文レビュー] Minimal nondegenerate extensions

Theo Johnson-Freyd, David Reutter|arXiv (Cornell University)|May 31, 2021

Rings, Modules, and Algebras被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、わずかに退化するbraided fusion categoryがすべて最小非退化拡張をもつことを証明し、そのような拡張の分類プログラムを完了する。fusion 2-categoryとDrinfel'd center構成を用いて、2次元TQFTによるKleinの曲面でのトポロジカル不変量から得られるものにより、拡張の障害が消えることを示し、カテゴリー的表現論およびトポロジカル量子場理論における長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that every slightly degenerate braided fusion category admits a minimal nondegenerate extension, and hence that every pseudo-unitary super modular tensor category admits a minimal modular extension. This completes the program of characterizing minimal nondegenerate extensions of braided fusion categories. Our proof relies on the new subject of fusion 2-categories. We study in detail the Drinfel'd centre Z(Mod-B) of the fusion 2-category Mod-B of module categories of a braided fusion 1-category B. We show that minimal nondegenerate extensions of B correspond to certain trivializations of Z(Mod-B). In the slightly degenerate case, such trivializations are obstructed by a class in $\mathrm{H}^5(K(\mathbb{Z}_2, 2); k^ imes)$ and we use a numerical invariant -- defined by evaluating a certain two-dimensional topological field theory on a Klein bottle -- to prove that this obstruction always vanishes. Along the way, we develop techniques to explicitly compute in braided fusion 2-categories which we expect will be of independent interest. In addition to the model of Z(Mod-B) in terms of braided B-module categories, we develop a computationally useful model in terms of certain algebra objects in B. We construct an S-matrix pairing for any braided fusion 2-category, and show that it is nondegenerate for Z(Mod-B). As a corollary, we identify components of Z(Mod-B) with blocks in the annular category of B and with the homomorphisms from the Grothendieck ring of the Müger centre of B to the ground field.

研究の動機と目的

• braided fusion categoryの最小非退化拡張の分類を完了すること。
• わずかに退化するbraided fusion categoryの拡張の障害を解消すること。
• すべての擬単位的super modular tensor categoryが最小modular拡張をもつことを確立すること。
• 将来の応用のためのbraided fusion 2-categoryにおける計算的ツールを開発すること。
• 高階カテゴリカルおよびコhomological手法を用いて、非退化拡張の完全な障害理論を提供すること。

提案手法

• braided fusion 1-category Bのmodule categoryのfusion 2-category Mod-BのDrinfel'd center構成Z(Mod-B)を用いる。
• Bの最小非退化拡張とZ(Mod-B)の自明化との間の対応を確立する。
• H⁵(K(Z₂, 2); k×)における障害類を検出するために、Kleinの曲面で評価された2次元TQFTにより得られる新しい不変量、Klein不変量κを導入する。
• Z(Mod-B)の計算に有用なモデルをB内の代数的対象の観点から構築し、明示的な計算を可能にする。
• braided fusion 2-categoryにおけるS-行列ペアリングを構成し、Z(Mod-B)においてその非退化性を証明する。
• 半braided代数のtwisted traceとη-不変量を用いて、Z(ΣB)における標準的Lagrangian対象を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのわずかに退化するbraided fusion categoryは最小非退化拡張をもつか？
• RQ2 そのような拡張を構成する際の障害は何か、そして常に消えるのか？
• RQ3 fusion 2-categoryのDrinfel'd centerは非退化拡張を分類するためにどのように用いることができるか？
• RQ4 2次元TQFTから得られるトポロジカル不変量は、H⁵(K(Z₂, 2); k×)におけるcohomological障害の消滅を検出できるか？
• RQ5 Z(Mod-B)の成分のカテゴリの構造は何か、またBのMüger中心とどのように関係するか？

主な発見

• すべてのわずかに退化するbraided fusion categoryは最小非退化拡張をもつ。これは長年の未解決問題を解決する。
• 拡張の障害はH⁵(K(Z₂, 2); k×)にあり、Kleinの曲面で評価された2次元TQFTにより得られるKlein不変量κの消滅により、これが消える。
• Drinfel'd center Z(Mod-B)は非退化S-行列ペアリングをもつ。これによりカテゴリがmodularであることが保証される。
• Z(Mod-B)の成分は、Bのアニュラーカテゴリのブロックと同一視され、BのMüger中心のGrothendieck環から体kへのホモモーチズムと一致する。
• Z(ΣB)における標準的Lagrangian対象は半braided代数として現れ、拡張の明示的分類を可能にする。
• 障害群Obstr(sRep(G, ϖ))は、twisted supercohomology SHϖ+•における写像のcokernelと同型であり、super-Tannakianの場合の完全な障害理論を提供する。