[論文レビュー] Minimisation of Deterministic Parity and Buchi Automata and Relative Minimisation of Deterministic Finite Automata

Sven Schewe|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2010

semigroups and automata theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、決定的 Büchi、Co-Büchi、およびパリティオートマトンの最小化問題がNP完全であることを確立するとともに、無限走査における受容の差が有限に制限される「ほぼ同値性（almost equivalence）」—決定的有限オートマトン（DFA）における緩い同値関係—を導入する。主な貢献は、ほぼ同値性の下での相対的最小化に向けた、実行可能で時間計算量が二次のアルゴリズムであり、これは効率的な状態空間の圧縮を可能にし、強連結成分（SCC）に基づく最適化を促進する。

ABSTRACT

In this report we study the problem of minimising deterministic automata over finite and infinite words. Deterministic finite automata are the simplest devices to recognise regular languages, and deterministic Buchi, Co-Buchi, and parity automata play a similar role in the recognition of ω-regular languages. While it is well known that the minimisation of deterministic finite and weak automata is cheap, the complexity of minimising deterministic Buchi and parity automata has remained an open challenge. We establish the NP-completeness of these problems. A second contribution of this report is the introduction of relaxed minimisation of deterministic finite automata. Like hyper-minimisation, relaxed minimisation allows for some changes in the language of the automaton: We seek a smallest automaton that, when used as a monitor, provides a wrong answer only a bounded number of times in any run of a system. We argue that minimisation of finite automata, hyper-minimisation, relaxed minimisation, and the minimisation of deterministic Buchi (or Co-Buchi) automata are operations of increasing reduction power, as the respective equivalence relations on automata become coarser from left to right. When we allow for minor changes in the language, relaxed minimisation can therefore be considered as a more powerful minimisation technique than hyper-minimisation from the perspective of finite automata. From the perspective of Buchi and Co-Buchi automata, we gain a cheap algorithm for state-space reduction that also turns out to be beneficial for further heuristic or exhaustive state-space reductions put on top of it.

研究の動機と目的

• 決定的 Büchi、Co-Büchi、およびパリティオートマトンの最小化問題の計算複雑性を特定すること。
• 無限走査における受容行動の差が有限に制限される、DFAのための新しい同値関係「ほぼ同値性（almost equivalence）」を導入すること。
• ほぼ同値性の下でのDFAの実行可能最小化アルゴリズムを開発し、BüchiおよびCo-Büchiオートマトンのさらなる状態空間圧縮の基盤とすること。
• ほぼ同値性の下での相対的最小化が言語特性を保存し、SCC単位での最適化を効果的に可能にすることを示すこと。
• このアプローチを言語同値性と組み合わせることで、より小さく言語同値なオートマトンを生成し、さらなる圧縮に適した構造を実現できることを示すこと。

提案手法

• 任意の無限語の前駆文字列において、受容が有限個の位置でのみ異なるDFA間の関係としてほぼ同値性を定義し、各走査のほとんどすべての位置で同値性を保証する。
• 言語の対称差の空でないことを確認するための決定的パリティオートマトン（DPA）を構築し、優先度関数を用いて受容の差を区別する。
• 2つのオートマトン間の積構成を用いて、言語差を追跡するDPAを構築し、状態ペアの受容状態に応じて優先度を割り当てる。
• 言語差が持続する非自明な成分を特定するためにSCC分解を適用し、ほぼ同値な状態の効率的同定を可能にする。
• BüchiまたはCo-Büchi解釈に基づく言語同値性チェックを統合することで、アルゴリズムを強化し、さらに状態空間を圧縮する。
• SCCは特に弱いSCCにおいては独立して処理可能であるという事実を活用し、最小化ヒューリスティクスおよび全探索法の最適化をさらに促進する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的 Büchi、Co-Büchi、およびパリティオートマトンの最小化問題はNP完全か？
• RQ2 無限走査における受容行動の差が有限に制限されるような、DFAのための緩い同値関係を定義可能か？ ただし言語特性は保存されるものとする。
• RQ3 この緩い同値関係（ほぼ同値性）の下で、最小化可能な実行可能アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 ほぼ同値性の下での最小化を、BüchiおよびCo-Büchiオートマトンにおけるその後続の状態空間圧縮の効率化のための前処理として利用可能か？
• RQ5 強連結成分（SCC）の構造により、ほぼ同値なオートマトンにおいて独立した最適化が可能か？

主な発見

• 決定的 Büchi、Co-Büchi、およびパリティオートマトンの最小化はNP完全であり、これらのクラスでは効率的な正確な最小化が不可能であることが判明した。
• ほぼ同値性は、無限走査における受容差が有限に制限される自然な、言語を保存するDFAの同値関係の緩い拡張である。
• ほぼ同値性の下での相対的最小化は、言語差を検出するDPAに基づく構成により、時間計算量が二次のオーダーで実行可能である。
• 最小のほぼ同値なオートマトンは、最小の言語同値DFA以下に保証され、さらに言語同値性チェックにより圧縮可能である。
• アルゴリズムにより、効果的なSCC単位の最適化が可能である：弱いSCCでは、すべての状態を同値にし、言語を変えずに統合可能である。
• このアプローチにより、グリーディマージングやSATベースの手法を含む、ヒューリスティックおよび全探索的最小化手法の高速化が可能になる。特に、SCCを独立して同定・圧縮することで、効率的な最適化が実現される。