[論文レビュー] Minimization of visibly pushdown automata is NP-complete

Olivier Gauwin, Anca Muscholl+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2019

Machine Learning and Algorithms参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、『埋め込み』（複数の正則言語を異なる初期状態および終了状態の組み合わせで認識する決定的遷移グラフ）の概念を導入することで、可視プッシュダウンオートマトン（VPA）の最小化がNP完全であることを証明している。著者らは、このような埋め込みの最小化というNP困難問題をVPA最小化に還元し、与えられた言語に対する最小VPAを求めることが計算的に困難であることを確立している。

ABSTRACT

We show that the minimization of visibly pushdown automata is NP-complete. This result is obtained by introducing immersions, that recognize multiple languages (over a usual, non-visible alphabet) using a common deterministic transition graph, such that each language is associated with an initial state and a set of final states. We show that minimizing immersions is NP-complete, and reduce this problem to the minimization of visibly pushdown automata.

研究の動機と目的

• 可視プッシュダウンオートマトン（VPA）の最小化の計算複雑性を確立すること。VPAは、プログラム検証およびXMLスキーマ検証において中心的なモデルである。
• 正則言語の最小化とは異なり、一意な最小オートマトンが存在しないという点から、VPA最小化が本質的に困難であることを示すこと。
• 『埋め込み』という画期的な概念を導入する。これは、複数の異なる言語を、異なる初期状態および終了状態の選択によって認識する共有の決定的有限オートマトン（DFA）である。
• 埋め込みの最小化がNP完全であることを示し、これによりVPA最小化のNP困難性を確立すること。
• 実際の効率的なVPA最小化アルゴリズムの限界を理解する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 『埋め込み』を形式的モデルとして導入：複数の初期状態および終了状態の組み合わせを持つ単一の決定的有限オートマトン（DFA）で、各組み合わせが異なる正則言語を定義する。
• グラフ構造を素数と剰余演算による数え上げで符号化することで、3彩色問題から埋め込み最小化問題への還元を構築する。
• サイズがN以下の最小埋め込みが存在するための必要十分条件として、関連するグラフが3彩色可能であること（サイクル分解および状態の分割を用いて証明）。
• 最小埋め込みの構造を活用し、頂点集合が二つの互いに素な部分に分割されることを示す：1つは『送信』サイクル（mod m）に属し、もう1つは『カウント』サイクル（p ∈ P について mod p）に属する。
• 最小性の制約を用いてサイクル数を制限する：素数p ∈ P に対して、最大3つのm-サイクルと、正確に1つのp-サイクルが存在する。
• 同じ言語族を可視スタック動作を示す可視プッシュダウンオートマトンで符号化することで、埋め込み最小化問題をVPA最小化問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可視プッシュダウンオートマトンの最小化は計算的に困難であるか。その複雑性クラスは何か？
• RQ2 複数の言語を異なる状態の選択によって認識する共有DFA（埋め込み）の最小化は、効率的に解けるか？
• RQ3 既知のNP完全問題から、最小化と構造を保つ埋め込み最小化問題への還元は存在するか？
• RQ4 標準的VPAの存在が、効率的な最小化を可能にするのか。それとも、標準的VPAは最小VPAよりも指数的に大きくなる可能性があるのか？
• RQ5 グラフの彩色数は、最小同等VPAのサイズを用いて近似可能か。近似アルゴリズムにどのような意味があるか？

主な発見

• 可視プッシュダウンオートマトンの最小化はNP完全である。これは、自動機理論における長年の未解決問題を解決するものである。
• 決定的VPAに制限しても、この問題はNP完全のままであり、その計算的困難性が本質的であることを示している。
• 複数の言語を異なる初期状態および終了状態の選択で認識する共有DFA（埋め込み）の最小化はNP完全である。
• サイズがN以下の最小埋め込みが存在するための必要十分条件は、関連するグラフが3彩色可能であることである。これにより、グラフ彩色とオートマトン最小化の間にきわめて明確な対応関係が確立された。
• この構成により、VPA最小化の任意の定数倍近似もNP困難であることが示され、彩色数近似への還元に起因する。
• ある言語の標準的VPAは、最小VPAよりも指数的に大きくなる可能性がある。これは、実際のところ効率的な最小化アルゴリズムが存在しないことを説明する。