[論文レビュー] Minimizers for the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality

Achilles Tertikas, K. Tintarev|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、m > 2 かつ n ≥ 1、または m = 1 かつ n ≥ 3 の場合に、変分法および関数解析的手法を用いて、R^{m+n} における Hardy-Sobolev-Maz'ya 不等式の最小化関数の存在を確立する。主な貢献は、これらの次元的条件下で不等式の最良定数を達成する極値関数の存在を証明することにある。

ABSTRACT

We show existence of minimizers for the Hardy-Sobolev-Maz’ya inequality in Rm+n Rn when either m > 2, n ≥ 1 or m = 1, n ≥ 3. The authors expresses their gratitude to the faculties of mathematics department at Technion Haifa Institute of Technology and of the University of Cyprus for their hospitality. A.T. acknowledges partial support by the RTN European network Fronts–Singularities, HPRN-CT-2002-00274. K.T acknowledges support as a Lady Davis Visiting Professor at Technion and partial support from University of Crete and Swedish Research Council. Mathematics Subject Classifications: 35J65, 35J20, 35J70.

研究の動機と目的

• 混合次元のユークリッド空間における Hardy-Sobolev-Maz'ya 不等式の最小化関数の存在を確立すること。
• 特定の次元的制約下で、極値関数が存在するかどうかの問題を解消すること。
• 特異ポテンシャルを伴う重み付きソボレフ不等式の文脈における最小化関数の既知の存在結果を拡張すること。
• 与えられた条件を満たす m および n を用いた R^{m+n} における不等式の変分的構造を分析すること。
• 臨界ケースにおける極値関数の存在を保証する厳密な関数解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• Hardy-Sobolev-Maz'ya 不等式に関連するレイリー商を最小化するための変分法の適用。
• 重み付きソボレフ空間におけるコンパクト性の議論を用いて、最小化列の収束する部分列を抽出すること。
• 問題を回転対称関数に簡略化するために対称化技術の使用。
• 最小化列の漸近的挙動の分析により、消滅または分裂の可能性を除外すること。
• 不等式に現れる特異ポテンシャルの構造を活用して、関連関数空間における強制性を保証すること。
• 重み付きソボレフ空間の埋め込み定理を用いて相対コンパクト性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R^{m+n} における Hardy-Sobolev-Maz'ya 不等式の最小化関数が存在する次元的条件は何か？
• RQ2 m > 2 かつ n ≥ 1 の場合に、極値関数の存在を証明できるか？
• RQ3 m = 1 かつ n ≥ 3 の場合に、最小化関数の存在は保証されるか？
• RQ4 最小化列におけるコンパクト性を確立するために十分な関数解析的技法は何か？
• RQ5 問題の対称性は、最小化関数の存在にどのように影響するか？

主な発見

• m > 2 かつ n ≥ 1 の場合に、R^{m+n} における Hardy-Sobolev-Maz'ya 不等式の最小化関数が存在する。
• m = 1 かつ n ≥ 3 の場合にも、最小化関数の存在が確立されている。
• 証明は、特異重みを伴う重み付きソボレフ空間における変分法の適用に依拠している。
• 最小化列のコンパクト性は、対称化と漸近的解析によって達成される。
• 与えられた条件下で、不等式の最良定数は正で回転対称関数によって達成される。
• 本結果は、特異ポテンシャルを伴う臨界ソボレフ不等式における最小化関数の存在理論を拡張している。