[論文レビュー] Minimum Cost Homomorphisms to Proper Interval Graphs and Bigraphs

Gregory Gutin, Pavol Hell+2 more|ArXiv.org|Feb 10, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、ループを許すグラフにおける最小コスト準同型問題（MinHOM）について二分岐を確立し、H の各連結成分が反射的適切区間グラフまたは非反射的適切区間バイグラフである場合に限り、MinHOM(H) が多項式時間で解けることを証明している。それ以外の場合は問題はNP困難である。この結果は、未解決の問題を解決し、非反射的ケースへの還元を用いて適切区間バイグラフの新しい特徴付けを提供する。

ABSTRACT

For graphs $G$ and $H$, a mapping $f: V(G)\dom V(H)$ is a homomorphism of $G$ to $H$ if $uv\in E(G)$ implies $f(u)f(v)\in E(H).$ If, moreover, each vertex $u \in V(G)$ is associated with costs $c_i(u), i \in V(H)$, then the cost of the homomorphism $f$ is $\sum_{u\in V(G)}c_{f(u)}(u)$. For each fixed graph $H$, we have the {\em minimum cost homomorphism problem}, written as MinHOM($H)$. The problem is to decide, for an input graph $G$ with costs $c_i(u),$ $u \in V(G), i\in V(H)$, whether there exists a homomorphism of $G$ to $H$ and, if one exists, to find one of minimum cost. Minimum cost homomorphism problems encompass (or are related to) many well studied optimization problems. We describe a dichotomy of the minimum cost homomorphism problems for graphs $H$, with loops allowed. When each connected component of $H$ is either a reflexive proper interval graph or an irreflexive proper interval bigraph, the problem MinHOM($H)$ is polynomial time solvable. In all other cases the problem MinHOM($H)$ is NP-hard. This solves an open problem from an earlier paper. Along the way, we prove a new characterization of the class of proper interval bigraphs.

研究の動機と目的

• 固定グラフ H に対して、ループを許す場合の最小コスト準同型問題（MinHOM(H)）の計算量の複雑さを分類すること。
• 頂点コストを伴うグラフ準同型の文脈において、MinHOM(H) の二分岐に関する未解決問題を解決すること。
• 構造的還元を用いて、適切区間バイグラフの新しい特徴付けを提供すること。
• 反射的ケースを非反射的ケースに還元することで、非反射的グラフから一般のグラフ（反射的および混合ケースを含む）への複雑さ分類を拡張すること。
• 完全な二分岐を確立すること：MinHOM(H) は、H の構造に応じて、P または NP完全のいずれかである。

提案手法

• 著者たちは、入力グラフ G から固定グラフ H への準同型 f を求め、各頂点 u に対して f(u) ∈ V(H) に関連するコストの合計を最小化する問題として MinHOM(H) を定義する。
• 反射的グラフ H を非反射的二部グラフ H* に変換する還元技術を用い、H が適切区間グラフであることと H* が適切区間バイグラフであることとは同値であることを示す。
• 証明は、特に、クラウド、ネッツ、テント、長さ 4 以上のサイクルなどの誘導部分グラフを含まないことで特徴づけられる適切区間バイグラフの構造的グラフ理論に依存している。
• NP困難性の証明では、独立集合問題への還元を用い、H が適切区間バイグラフでない場合、MinHOM(H) がNP完全であることを示している。
• リスト準同型と制約充足問題の既知の結果を応用して二分岐を支持しており、特に、有向グラフのリスト準同型に関してブルアトフの結果を活用している。
• 分類は、H の各連結成分が反射的適切区間グラフまたは非反射的適切区間バイグラフである場合に限り、MinHOM(H) が多項式時間で解けることを証明することで完了する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループを許す場合に、どのグラフ H に対して最小コスト準同型問題 MinHOM(H) が多項式時間で解けるか。
• RQ2 H のどの構造的性質が MinHOM(H) の tractability や intractability を決定づけるか。
• RQ3 非反射的グラフから一般のグラフ（反射的および混合グラフを含む）への MinHOM(H) の複雑さ分類を、ループを許す場合に拡張できるか。
• RQ4 MinHOM(H) に対して完全な二分岐が存在するか。つまり、すべての固定 H に対して、問題が P または NP完全のいずれかであるか。
• RQ5 非反射的ケースへの還元を用いて、適切区間バイグラフの新しい特徴付けを導出できるか。

主な発見

• MinHOM(H) は、H のすべての連結成分が反射的適切区間グラフまたは非反射的適切区間バイグラフである場合に限り、多項式時間で解ける。
• ループを許すすべての他のグラフ H に対して、問題はNP困難である。これは、適切区間グラフやバイグラフでないものも含む。
• クラウド、ネッツ、テント、長さが 4 以上のサイクルを誘導部分グラフとして含まないという性質によって、適切区間バイグラフの新しい特徴付けが確立された。
• 反射的グラフ H から二部グラフ H* への還元は、MinHOM(H) の複雑さを保存する。これにより、非反射的ケースの分類を用いて反射的ケースを分類できる。
• この二分岐結果は、最小コスト準同型に関する文献における未解決問題を解決する。
• 分類はタイトである：MinHOM(H) が多項式時間で解ける他のグラフクラスは存在しない。