[論文レビュー] Minimum Degree of the Difference of Two Polynomials over Q, and Weighted Plane Trees

Fedor Pakovich, Alexander K. Zvonkin|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、黒・白の頂点次数によって一意に決定される単位木（unitrees）—重み付き二色平面木—の完全な分類を確立し、それらを有理数体 ℚ 上で定義された互いに素な多項式の組に結びつける。dessins d’enfants とガロア理論を用いて、このような木が ℚ 上で定義された Davenport–Zannier 三つ組に対応することを証明し、それらの多項式の最小次数差について、これまでに知られていた最大のクラスを提供するとともに、ガロア不変量を用いた組合せ的枠組みを提示し、その算術的性質を研究する。

ABSTRACT

A weighted bicolored plane tree is a bicolored plane tree whose edges are endowed with positive integral weights. The degree of a vertex is defined as the sum of the weights of the edges incident to this vertex. Using the theory of dessins d'enfants, which studies the action of the absolute Galois group on graphs embedded into Riemann surfaces, we show that a weighted plane tree is a graphical representation of a pair of coprime complex polynomials A,B such that: (a) deg A = deg B, and A and B have the same leading coefficient; (b) the multiplicities of the roots of A (respectively, of B) are equal to the degrees of the black (respectively, white) vertices of the corresponding tree; (c) the degree of the difference A-B attains the minimum which is possible for the given multiplicities of the roots of A and B. Moreover, if a tree in question is uniquely determined by the set of its black and white vertex degrees (we call such trees unitrees), then the corresponding polynomials are defined over Q. The pairs of polynomials A,B such that the degree of the difference A-B attains the minimum, and especially those defined over Q, are related to some important questions of number theory. Dozens of papers were dedicated to their study. The main result of this paper is a complete classification of the unitrees which provides us with the most massive class of such pairs defined over Q. We also study combinatorial invariants of the Galois action on trees, as well as on the corresponding polynomial pairs, which permit us to find yet more examples defined over Q. In a subsequent paper we compute the polynomials A,B corresponding to all the unitrees.

研究の動機と目的

• 頂点次数列によって一意に決定される重み付き二色平面木（unitrees）をすべて分類すること。これらは ℚ 上の多項式差の最小次数に対応する。
• このような木と ℚ 上で定義された Davenport–Zannier 三つ組との対応関係を確立し、ディオファントス近似および多項式分解分野における長年の未解決問題を解決すること。
• ガロア作用の木と多項式の組に対する組合せ的不変量を探索し、ℚ 上で定義される追加の例を同定すること。
• 与えられた根の重複度パターンに対して、deg(P − Q) を最小化するような多項式 P, Q ∈ ℚ[x] を体系的に構成する方法を提供すること。

提案手法

• dessins d’enfants の理論を用いて、多項式の問題を重み付き二色平面木上の組合せ的問題に翻訳する。
• 辺の重みと、隣接する辺の重みの和としての頂点次数を持つ重み付き二色平面木を定義する。
• 有理関数 f = P/R に Riemann–Hurwitz 公式を適用し、deg(R) の下界を導出し、それを木の位相に結びつける。
• 単位木（黒・白の頂点次数によって一意に決定される木）の概念を導入し、それが ℚ 上の DZ 三つ組に対応することを証明する。
• モノドロミー群、双対性、合成などのガロア不変量を用いて、多項式の組の算術的性質を分析する。
• ディオファントス方程式（例えば、楕円曲線上の有理点）の有理数解の存在を、ガロア軌道が ℚ 上で定義されるか否かを決定するための還元を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの重み付き二色平面木が ℚ 上で定義された Davenport–Zannier 三つ組に対応するか。それらは完全に分類可能か。
• RQ2 頂点次数にどのような組合せ的条件を課すと、木が単位木（unitree）となるか。これは deg(P − Q) の最小性とどのように関係するか。
• RQ3 モノドロミー群や双対性といったガロア不変量は、ℚ 上で定義される木と数体上でしか定義されない木をどのように区別するか。
• RQ4 ガロア軌道が有理成分と非有理成分に分割される現象は、頂点次数にディオファントス的条件が関与していると説明可能か。
• RQ5 最小次数が達成できない場合に、ℚ 上で定義される多項式に対して deg(P − Q) の最大可能な次数は何か。

主な発見

• 本稿は、黒・白の頂点次数によって一意に決定される単位木（unitrees）の完全な分類を提供し、それらは ℚ 上で定義された Davenport–Zannier 三つ組のこれまでに知られていた最大のクラスを形成する。
• deg(P − Q) = (n + 1) − (p + q) である DZ 三つ組が存在するための必要十分条件は、指定された頂点次数を持つ重み付き二色平面木が存在することであると証明した。
• 特定の木の族、例えばパスポート (7¹1ⁿ⁻⁷, p²q⁵) のようなものでは、関連する楕円曲線上の有理点の存在が、ℚ 上で定義されるガロア軌道の存在を示唆する。これは、全軌道が有理的でない場合でも成立する。
• 非最小次数差を持つ ℚ 上の DZ 三つ組の最小例は、686本の辺（p = 33, q = 124）を有し、11番目の解では n ≈ 3.45 × 10¹³⁴ 本の辺を持つ。
• 最小次数条件を緩和することで、ℚ 上で実現できない最小次数に対しても、ℚ 上の多項式の組を構成可能であることを示した（図60および61で示された例を参照）。
• ガロア軌道が有理成分と二次成分に分割される現象は、単なる組合せ論的性質ではなく、頂点次数にディオファントス的条件が関与していると示した。特に、∆ = 3(p + 2q)(2p + 3q) が完全平方である場合にその例を示した。