[論文レビュー] Minimum Relative Entropy State Transitions in Linear Stochastic Systems: the Continuous Time Case

Igor G. Vladimirov, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、トレース解析的関数と行列の変数分離法を用いて、最小相対エントロピー供給を支配するハミルトニアン・ジャコビ方程式に対する閉形式で滑らかな解を導出することにより、線形確率系における連続時間のシュレーディンガー・ブリッジ問題を解いている。問題は平均と分散成分に分解され、有限時間区間におけるガウス分布間の遷移に必要な最小のノイズ相対エントロピーを明示的な式で与える。

ABSTRACT

This paper is concerned with a dissipativity theory for dynamical systems governed by linear Ito stochastic differential equations driven by random noise with an uncertain drift. The deviation of the noise from a standard Wiener process in the nominal model is quantified by relative entropy. We discuss a dissipation inequality for the noise relative entropy supply. The problem of minimizing the supply required to drive the system between given Gaussian state distributions over a specified time horizon is considered. This problem, known in the literature as the Schroedinger bridge, was treated previously in the context of reciprocal processes. A closed-form smooth solution is obtained for a Hamilton-Jacobi equation for the minimum required relative entropy supply by using nonlinear algebraic techniques.

研究の動機と目的

• 相対エントロピーで定量化された不確実なノイズドリフトを有する線形Itô確率系のための分散性理論を構築すること。
• ガウス初期および終端状態分布を想定した連続時間におけるシュレーディンガー・ブリッジ問題を解くこと。
• 最小相対エントロピー供給を支配するハミルトニアン・ジャコビ方程式に対する閉形式で滑らかな解を導出すること。
• 非可換性を有する行列値偏微分方程式に対処するための非線形代数的技法とトレース解析的関数を用いること。
• エントロピー供給を独立した平均および分散寄与に分離する平均-分散分離原理を確立すること。

提案手法

• 相対エントロピーが確率的供給として機能し、状態の相対エントロピーが貯蔵関数として機能する分散性フレームワークを用いる。
• 非線形ハミルトニアン・ジャコビ方程式を解くために、行列のトレース解析的関数のアンサッツに基づく補正スキームを適用する。
• スカラー化された分散HJEを解くために、行列版の変数分離法を用い、非可換性の問題を解決する。
• 非線形偏微分方程式における重ね合わせの原理に代わって、解のための双線形相互作用則を導入する。
• 補正関数 χ(ω) の常微分方程式を解くことで解を導出し、境界条件を満たすように特定の分岐を選択する。
• 名目平均および分散の半群と有限区間制御可能性グラミアンを組み合わせて、最終的なエントロピー供給を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続時間において、与えられた2つのガウス状態分布間を駆動するために必要な最小の相対エントロピー供給は何か？
• RQ2 行列値ハミルトニアン・ジャコビ方程式における非可換性は、どのようにして閉形式解を得るために克服できるか？
• RQ3 積分方程式ではなく代数的技法を用いることで、線形SDEにおけるシュレーディンガー・ブリッジ問題を閉形式で解くことは可能か？
• RQ4 トレース解析的関数 χ(ω) は、HJEの解を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ5 平均-分散分離原理は、エントロピー供給を独立した成分にどのように分解するか？

主な発見

• トレース解析的関数と行列の変数分離法を用いて、分散ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対する閉形式で滑らかな解が導出された。
• 解は $ S_T(\Sigma,\Theta) = \ln\det(2U_T(\Sigma)) + \mathrm{Tr}(U_T(\Sigma) + V_T(\Theta) + \chi(U_T(\Sigma)V_T(\Theta))) $ で与えられ、$ \chi(\omega) = -\sqrt{1+4\omega} - \ln(\sqrt{1+4\omega}-1) $ である。
• 状態確率密度関数の遷移問題における最小相対エントロピー供給は、式 (91) で与えられ、名目半群と制御可能性グラミアンを介して平均および分散項が結合されている。
• 境界条件 $ S_T(C_T^{-1}(\Theta), \Theta) = 0 $ が、すべての名目的に到達可能な $ \Theta \succ \Gamma_T $ に対して満たされ、正しく終端状態分布が得られていることが保証されている。
• 行列微分方程式における非可換性は、行列関数計算を用いてスカラーに近い形に変換することで、効果的に克服された。
• 最終的な供給式の構造は離散時間の場合と一致するが、連続時間線形SDEに適応され、適切な半群およびグラミアン計算が行われている。