[論文レビュー] Minimum Restraint Functions for unbounded dynamics: general and control-polynomial systems

Anna Chiara Lai, Monica Motta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2016

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非有界な制御と非負の走行コストを伴う最適制御問題に対して、コンp₀-最小制約関数を導入し、従来のコンパクト制御集合に依存する結果を拡張する。このような関数が、目標集合へのグローバル漸近的可制御性を保証し、p₀ > 0 のときには値関数の状態依存上界を提供することを証明する。制御多項式系への応用には、ベクトル値多項式の凸包解析が用いられる。

ABSTRACT

We consider an exit-time minimum problem with a running cost, $l\geq 0$ and unbounded controls. The occurrence of points where $l=0$ can be regarded as a transversality loss. Furthermore, since controls range over unbounded sets, the family of admissible trajectories may lack important compactness properties. In the first part of the paper we show that the existence of a $p_0$-minimum restraint function provides not only global asymptotic controllability (despite non-transversality) but also a state-dependent upper bound for the value function (provided $p_0>0$). This extends to unbounded dynamics a former result which heavily relied on the compactness of the control set. In the second part of the paper we apply the general result to the case when the system is polynomial in the control variable. Some elementary, algebraic, properties of the convex hull of vector-valued polynomials' ranges allow some simplifications of the main result, in terms of either near-affine-control systems or reduction to weak subsystems for the original dynamics.

研究の動機と目的

• コンパクト性仮定に依存しない未定義制御ダイナミクスへの最小制約関数理論の拡張。
• l ≥ 0 および非有界制御を伴う出口時刻最適制御問題におけるグローバル漸近的可制御性の十分条件の確立。
• p₀ > 0 のとき、到達不能性（l=0を許容）の下でも、値関数 V(z) の状態依存上界を導出すること。
• ベクトル値多項式の値域の凸包の代数的性質を活用して、制御多項式系の解析を簡略化すること。
• 多項式制御系における近アフィン制御構造および弱部分系還元の利用を可能にすること。

提案手法

• Ω∖C 上で連続的かつ局所的擬凸性を有し、正定値かつ適切な関数であるp₀-最小制約関数Wを導入し、すべてのx ∈ Ω∖Cに対してH_{l,f}(x,p₀,D*W(x)) < 0を満たす。
• 状態依存時間スケーリング技術を用いて、元の問題をコンパクト化されたダイナミクスを持つ問題に変換し、Hypothesis Aに基づき(l,f)/(1+|(l,f)|)の一様連続性を保証する。
• スケーリングされたダイナミクスを用いて、制御が非有界であっても軌道構築に必要なコンパクト性を回復する。
• 制御多項式系に対して、f(x,U_r)の凸包を、単項式の符号パターンに関する組合せ的対称性を用いて分析する。
• 対称な符号組合せにおける積の和が消えることを利用し、wが対称区間にあるときf₀(x) + w f_α(x) ∈ co f(x,U_r)が成り立つことを証明する。
• 多項式制御範囲の凸包が有限個のアフィン結合の和集合に含まれることを示し、近アフィン制御構造による解析が可能となる弱部分系に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小制約関数の概念は、制御集合のコンパクト性に依存せずに、非有界制御集合へ拡張可能か？
• RQ2 l(x,u) = 0 となる点が存在する場合（すなわち、横断性の喪失が生じる場合）でも、p₀-最小制約関数の存在がグローバル漸近的可制御性を保証するか？
• RQ3 非有界制御および走行コストの消失が生じる状況下でも、値関数の状態依存上界を導出可能か？
• RQ4 ベクトル値多項式制御範囲の凸包は、最適制御解析の複雑さを軽減するためにどのように簡略化可能か？
• RQ5 制御多項式系は、弱部分系または近アフィン形式に還元可能か？これによりp₀-最小制約関数の構築が容易になるか？

主な発見

• p₀-最小制約関数の存在は、l(x,u) = 0 となる点が存在する場合でも、目標集合Cへのグローバル漸近的可制御性を保証する。
• p₀ > 0 のとき、すべてのz ∈ Ω∖Cに対してV(z) ≤ W(z)/p₀が成り立ち、連続的な上界が得られる。
• Hypothesis Aは、時間スケーリングに必要な正則性を保証し、非有界制御問題においてもコンパクト性の議論を可能にする。
• 制御多項式系において、対称な符号平均化の結果、f(x,U_r)の凸包にはwが対称区間にあるときのf₀(x) + w f_α(x)のすべての項が含まれる。
• 近アフィン制御構造を用いた弱部分系還元により、多項式ダイナミクスの解析が簡略化可能である。
• 本結果は、多項式的、指数的、リプシッツ連続的制御依存性を有する系にも適用可能であり、コンパクト制御集合に限定されない応用範囲を拡大する。