[論文レビュー] Mining Maximal Cliques from an Uncertain Graph

Arko Provo Mukherjee, Pan Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Data Mining Algorithms and Applications参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、サンプルされたグラフにおいて完全に接続されている確率がα以上である必要がある不確実グラフにおけるα-最大クリークを導入する。このクリークを列挙するためのMULEアルゴリズムを提案し、最適化された深さ優先探索と段階的確率計算を用いることで、ほぼ最適な最悪ケース実行時間と、$inom{n}{ floor n/2 floor}$のα-最大クリークの最大数に対するタイトな境界を達成する。

ABSTRACT

We consider mining dense substructures (maximal cliques) from an uncertain graph, which is a probability distribution on a set of deterministic graphs. For parameter 0 < α < 1, we present a precise definition of an α-maximal clique in an uncertain graph. We present matching upper and lower bounds on the number of α-maximal cliques possible within an uncertain graph. We present an algorithm to enumerate α-maximal cliques in an uncertain graph whose worst-case runtime is near-optimal, and an experimental evaluation showing the practical utility of the algorithm.

研究の動機と目的

• 不確実グラフにおけるα-最大クリークの概念を定義・形式化すること。ここで、クリークはサンプルされたグラフにおいて確率≥αで完全に接続されている必要がある。
• 任意のn頂点をもつ不確実グラフにおいて、α-最大クリークが取りうる最大数に対するタイトな理論的境界を確立すること。
• 不確実グラフにおけるすべてのα-最大クリークを列挙するための効率的なアルゴリズムMULEの設計および実装すること。
• MULEの実用的性能を、実世界および合成的な不確実グラフ上で評価し、そのスケーラビリティと効率性を示すこと。

提案手法

• α-最大クリークの概念を導入する：確率≥αでクリークを形成する頂点集合Uであり、かつそれ以上の大きな集合に含まれないものである。
• 探索空間を深さ優先探索（DFS）で走査し、クリーク形成確率に基づいた枝刈りを実施する。
• 再計算を再び行わず、最大化性を効率的に確認するため、クリーク確率を段階的に計算する。
• 必要のない探索を制限する最適化を適用する。特に、確率の閾値を満たさない場合には早期終了を実行する。
• サイズの閾値tに基づくフィルタリングにより、大きなα-最大クリークのみを効率的に列挙するようにアルゴリズムを拡張する。
• 理論的解析により、最悪ケース実行時間がO(n·2^n)であることが示され、出力サイズの理論的上限を考慮すると、ほぼ最適である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の0 < α < 1に対して、n頂点をもつ不確実グラフに存在しうるα-最大クリークの最大数は何か？
• RQ2 α-最大クリークをすべて列挙するための効率的なアルゴリズムを、ほぼ最適な最悪ケース時間計算量で設計できるか？
• RQ3 提案されたMULEアルゴリズムの性能は、さまざまなグラフタイプにおいて、単純なDFSアプローチと比べてどのように異なるか？
• RQ4 αの閾値を変化させた場合、α-最大クリークの数とアルゴリズムの実行時間にどのような影響があるか？

主な発見

• 任意のn頂点をもつ不確実グラフにおけるα-最大クリークの最大数は、$\binom{n}{\lfloor n/2 \rfloor}$で上界および下界が与えられ、これがタイトである。
• MULEアルゴリズムは最悪ケース実行時間がO(n·2^n)を達成しており、出力サイズの理論的上限を考慮すると、ほぼ最適である。
• 実験的評価により、MULEは単純なDFSアプローチを著しく上回ることが示された。特にα=0.9のような高いα値では顕著な性能向上が見られ、グラフが密であるほどその差が大きくなる。
• サイズ≥tの大きなα-最大クリークのみを列挙する最適化版MULEは、不要な探索を回避しつつ、すべての大きなα-最大クリークを正しく列挙する。
• 実世界および合成グラフ（例：DBLP、p2p-Gnutella、Barabási-Albert）において、MULEは効果的にスケーリング可能であり、αが増加しても実行時間は比較的緩やかに増加する。
• アルゴリズムの性能はグラフの密度とαに強く依存しており、最悪ケースの挙動は非常に密なグラフでのみ発生するが、通常のグラフでははるかに優れた性能を示す。