[论文解读] Minkowski Sum Construction and other Applications of Arrangements of Geodesic Arcs on the Sphere

Efi Fogel|ArXiv.org|Jun 17, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 107被引用 11

一句话总结

本文提出了一套精确、输出敏感的算法，用于在三维空间中使用球面上测地线弧的排列计算凸多面体的闵可夫斯基和，借助精确有理数算术和CGAL库。该研究建立了闵可夫斯基和复杂度的紧致理论界，并通过球面上排列的精确几何计算，实现了鲁棒的碰撞检测、邻近查询以及多面体分割。

ABSTRACT

We present two exact implementations of efficient output-sensitive algorithms that compute Minkowski sums of two convex polyhedra in 3D. We do not assume general position. Namely, we handle degenerate input, and produce exact results. We provide a tight bound on the exact maximum complexity of Minkowski sums of polytopes in 3D in terms of the number of facets of the summand polytopes. The algorithms employ variants of a data structure that represents arrangements embedded on two-dimensional parametric surfaces in 3D, and they make use of many operations applied to arrangements in these representations. We have developed software components that support the arrangement data-structure variants and the operations applied to them. These software components are generic, as they can be instantiated with any number type. However, our algorithms require only (exact) rational arithmetic. These software components together with exact rational-arithmetic enable a robust, efficient, and elegant implementation of the Minkowski-sum constructions and the related applications. These software components are provided through a package of the Computational Geometry Algorithm Library (CGAL) called Arrangement_on_surface_2. We also present exact implementations of other applications that exploit arrangements of arcs of great circles embedded on the sphere. We use them as basic blocks in an exact implementation of an efficient algorithm that partitions an assembly of polyhedra in 3D with two hands using infinite translations. This application distinctly shows the importance of exact computation, as imprecise computation might result with dismissal of valid partitioning-motions.

研究动机与目标

• 开发在R³中无需假设一般位置的凸多面体闵可夫斯基和的精确、输出敏感算法。
• 建立以输入多面体的面数为参数的多面体闵可夫斯基和最大复杂度的紧致理论界。
• 通过精确几何计算，实现鲁棒的应用，如碰撞检测、邻近查询以及多面体分割。
• 将用于曲面（特别是球面）上的排列的软件组件实现并集成到CGAL库中，以支持可扩展性与高精度。
• 展示在复杂几何任务（如多部件装配分割）中精确计算的必要性，其中浮点数误差可能导致有效运动被错误排除。

提出的方法

• 该方法使用嵌入在球面上的测地线弧（大圆弧）排列作为球面高斯映射及相关结构的参数表示。
• 采用CGAL曲面排列2包的变体，针对球面和立方体参数曲面实例化，以鲁棒地表示和操作这些排列。
• 算法完全依赖精确有理数算术，以确保数值鲁棒性，并避免退化输入中的退化问题。
• 核心操作包括适用于球面排列的扫描线法与地图叠加技术，以支持闵可夫斯基和构造与布尔运算。
• 实现与Sgal工具包及CGAL集成，使用精确有理数坐标和专用几何节点（如SphericalGaussianMap、ArrangementOnSphere）进行3D场景表示。
• 在这些组件之上构建应用，包括碰撞检测、邻近查询，以及利用无限平移实现的多面体组件的精确分割。

实验结果

研究问题

• RQ1 在R³中，两个凸多面体的闵可夫斯基和的精确最大复杂度是多少？其表达式应以输入多面体的面数为参数。
• RQ2 当存在退化输入（例如平行面）时，如何使闵可夫斯基和构造过程保持鲁棒与精确？
• RQ3 球面上测地线弧的排列在支持3D多面体计算的精确高效几何运算中起到何种作用？
• RQ4 精确几何计算能否防止在多部件装配问题中错误排除有效分割运动？
• RQ5 如何设计用于球面排列的软件组件，使其具备通用性、可扩展性，并与精确算术及CGAL框架兼容？

主要发现

• 本文建立了R³中多面体闵可夫斯基和复杂度的紧致精确上界，其表达式以输入多面体的面数为参数。
• R³中k个凸多面体的闵可夫斯基和的最大复杂度由公式 ∑₁≤i<j≤k (2mi−5)(2mj−5) + ∑₁≤i≤k mi + (k choose 2) 给出，其中mi表示第i个多面体的面数。
• 所提出的算法具有输出敏感性，且仅使用精确有理数算术，确保在退化情况下仍具鲁棒性。
• 实现表明，精确计算在分割问题中至关重要，因为不精确计算可能错误地拒绝有效运动。
• 软件组件（包括曲面排列2包和Sgal工具包）已公开提供，支持球面排列与多面体运算的精确表示与可视化。
• 该框架支持实际应用，如碰撞检测、邻近查询，以及基于无限平移的装配体精确分割，所有操作均基于精确几何计算。