[論文レビュー] Tight lower bounds on the number of faces of the Minkowski sum of convex polytopes via the Cayley trick

Menelaos I. Karavelas, Eleni Tzanaki|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Point processes and geometric inequalities参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ケイリーの技法を用いて、r 個の凸 d-多面体のミンコフスキー和における k-面の数のタイトな下界を確立する。著者らは、r 個のネイバリー d-多面体を構成することで、d ≥ 3 および 2 ≤ r ≤ d − 1 のとき、Fukuda と Weibel の上界が 0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r の範囲でタイトであることを証明し、従来の結果をより広いパrameter 範囲に拡張する。

ABSTRACT

Consider a set of $r$ convex $d$-polytopes $P_1,P_2,...,P_r$, where $d\ge{}3$ and $r\ge{}2$, and let $n_i$ be the number of vertices of $P_i$, $1\le{}i\le{}r$. It has been shown by Fukuda and Weibel that the number of $k$-faces of the Minkowski sum, $P_1+P_2+...+P_r$, is bounded from above by $Φ_{k+r}(n_1,n_2,...,n_r)$, where $Φ_{\ell}(n_1,n_2,...,n_r)= \sum_{\substack{1\le{}s_i\le{}n_i s_1+...+s_r=\ell}} \prod_{i=1}^r\binom{n_i}{s_i}$, $\ell\ge{}r$. Fukuda and Weibel have also shown that the upper bound mentioned above is tight for $d\ge{}4$, $2\le{}r\le{}\lfloor\frac{d}{2} floor$, and for all $0\le{}k\le{}\lfloor\frac{d}{2} floor-r$. In this paper we construct a set of $r$ neighborly $d$-polytopes $P_1,P_2,...,P_r$, where $d\ge{}3$ and $2\le{}r\le{}d-1$, for which the upper bound of Fukuda and Weibel is attained for all $0\le{}k\le{}\lfloor\frac{d+r-1}{2} floor-r$. Our approach is based on what is known as the Cayley trick for Minkowski sums. A direct consequence of our result is a tight asymptotic bound on the complexity of the Minkowski sum $P_1+P_2+...+P_r$, for any fixed dimension $d$ and any $2\le{}r\le{}d-1$, when the number of vertices of the polytopes is (asymptotically) the same.

研究の動機と目的

• d ≥ 3 および 2 ≤ r ≤ d−1 のとき、r 個の凸 d-多面体のミンコフスキー和における k-面の最大数を特定すること。
• Fukuda-Weibel の面数に関する上界のタイトさが、従来の範囲を超えて拡張可能であることを示すこと。
• より広いクラスの多面体および次元において、自明な上界 Φk+r(n₁,…,nr) が達成可能であることを確立すること。
• 頂点数が漸近的に等しい r 個の d-多面体のミンコフスキー和に対して、タイトな漸近的複雑度の境界を提供すること。
• 構築されたネイバリー多面体が、0 ≤ k ≤ d−1 の全範囲において、k-面の最大数を達成するという予想を提示すること。

提案手法

• ミンコフスキー和 P₁ + ⋯ + Pr を、ℝʳ⁻¹ × ℝᵈ におけるケイリー多面体 P̃ と d-平面 W̄ の交差として表現するケイリーの技法を用いる。
• r 個のネイバリー d-多面体を構成し、P̃ が W̄ と交差する (k−1)-面の数が r ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ の範囲で Φk(n₁,…,nr) に等しくなるようにする。
• 各 V-スパンニング頂点集合がケイリー多面体の一意な面を定義するように、パrameter ζ を用いた摂動法を用いる。
• P̃ の支持超平面を特徴付けるために、行列式に基づく条件 FV(x;ζ) = 0 を用い、意図した頂点集合のみが面を形成することを保証する。
• P̃ ∩ W̄ の (k + r − 1)-面と P₁ + ⋯ + Pr の k-面との間の一対一対応を用いて、面数を導出する。
• P̃ の面構造が W̄ との交差によってミンコフスキー和の構造と一致するとき、fₖ(P₁ + ⋯ + Pr) = Φk+r(n₁,…,nr) が成り立つという事実に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d ≥ 3 および 2 ≤ r ≤ d−1 のとき、r 個の凸 d-多面体のミンコフスキー和における k-面数に関する Fukuda-Weibel の上界は、すべての k に対してタイトか？
• RQ2 上界 Φk+r(n₁,…,nr) は、0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r の範囲で、すべての k に対して達成可能か？
• RQ3 固定された d ≥ 3 および 2 ≤ r ≤ d−1 のもとで、頂点数が漸近的に等しい r 個の d-多面体のミンコフスキー和の漸近的複雑度は何か？
• RQ4 ネイバリー多面体の構築により、0 ≤ k ≤ d−1 のすべての k に対して最大の k-面数が達成可能か？
• RQ5 r ≥ d または現在の境界を超える高い k の場合、k-面数の最もタイトな表現は何か？

主な発見

• Fukuda-Weibel の上界 Φk+r(n₁,…,nr) は、d ≥ 3、2 ≤ r ≤ d−1、および 0 ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ − r の範囲で、ミンコフスキー和 P₁ + ⋯ + Pr の k-面数に対してタイトである。
• r 個のネイバリー d-多面体の構築により、指定された範囲のすべての k に対して上界が達成され、従来の知られていた範囲よりもはるかに広い範囲でタイトさが証明された。
• 固定された d ≥ 3 および 2 ≤ r ≤ d−1 のもとで、r 個の n-頂点 d-多面体のミンコフスキー和の漸近的複雑度は Θ(n⌊(d+r−1)/2⌋) である。
• ケイリーの技法により、ケイリー多面体の (k−1)-面と d-平面の交差がミンコフスキー和の k-面に対応し、面数の妥当性が裏付けられる。
• 各 r ≤ k ≤ ⌊(d + r − 1)/2⌋ に対して、d-平面と交差するケイリー多面体の (k−1)-面の数は正確に Φk(n₁,…,nr) に等しく、面数が最大であることが保証される。
• 著者らは、この構築が 0 から d−1 の全 k に対して最大の k-面数を達成すると予想しており、現在の証明範囲を超えて拡張される。