[論文レビュー] Mixed-norm $L_p$-estimates for non-stationary Stokes systems with singular VMO coefficients and applications

Hongjie Dong, Tuoc Phan|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間において平均振動が消失する（VMO）特異係数をもつ非定常ストークス系に対して、混合ノルム $L_p$-推定を確立する。主な貢献は、導出された混合ノルムルベーグ空間における勾配および2階微分ノルムの推定を活用して、ナビエ＝ストークス方程式のレーライ＝ホプフ弱解のための新しい $\mathcal{C}$-正則性基準を確立したことである。この基準は、セリーンの正則性基準を臨界ケースにまで拡張するものである。

ABSTRACT

We prove the mixed-norm Sobolev estimates for solutions to both divergence and non-divergence form time-dependent Stokes systems with unbounded measurable coefficients having small mean oscillations with respect to the spatial variable in small cylinders. As a special case, our results imply Caccioppoli's type estimates for the Stokes systems with variable coefficients. A new $ε$-regularity criterion for Leray-Hopf weak solutions of Navier-Stokes equations is also obtained as a consequence of our regularity results, which in turn implies some borderline cases of the well-known Serrin's regularity criterion.

研究の動機と目的

• 可測係数が特異的かつ空間で小さな平均振動を示す時間依存ストークス系の弱解に対する混合ノルムソボレフ推定を確立すること。
• 非発散型形式ストークス系への正則性結果の拡張を図り、混合ノルム $L_{s,q}$ 空間における2階空間微分の正則性に焦点を当てる。
• $L_p$-推定を用いて、ナビエ＝ストークス方程式のレーライ＝ホプフ弱解のための新しい $\boldsymbol{\mathcal{C}}$-正則性基準を導出すること。
• 混合ノルムルベーグ空間における可積分性条件の分析を通じて、セリーンの正則性基準の臨界ケースへの拡張を提供すること。
• 特異係数が平均振動が消失する（VMO）性質をもつ場合、それが非定常流体系の解の正則性に果たす役割を分析すること。

提案手法

• 時間と空間の可積分性を併せ持つ、放物的シリンダ $Q_{\rho}(z_0)$ 上での混合ノルムルベーグ空間 $L_{s,q}(Q)$ の使用による解の解析。
• 空間における係数の変動を制御するため、小さな平均振動 $\delta$ と指数 $\alpha_0 \geq 1$ をもつVMO条件の適用。
• 勾配の可積分性と和分の改善を図るため、数列 $s_k$ と $r_k$ を用いた再帰的反復スキームの採用。
• モレッジ空間におけるカーラーゾン＝ジーグムンド推定の適用により、$Dd_{ij}$ の $L_{s,\alpha}$-ノルムを解のノルムと関連付ける。
• ソボレフ＝パオンカーリー不等式とホルダーの不等式を用いて、$d_{ij}$ の振動の解およびその微分に関する推定を導出する。
• 小さな放物的シリンダ上での線形化ナビエ＝ストークス系に主 $L_p$-推定を反復的に適用することで、新しい $\boldsymbol{\mathcal{C}}$-正則性基準を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的かつVMO係数をもつ非定常ストークス系の弱解の勾配に対して、混合ノルム $L_p$-推定を確立できるか？
• RQ2 係数行列の特異的反対称部 $d_{ij}$ と小さな平均振動を示す対称部 $b_{ij}$ をもつ場合、解の正則性特性はどのように変化するか？
• RQ3 ストークス系に対する $L_p$-推定を、ナビエ＝ストークス方程式のレーライ＝ホプフ弱解のための新しい正則性基準を導出するのにも応用できるか？
• RQ4 混合ノルム推定を用いて、セリーン基準の臨界ケースへの $\boldsymbol{\mathcal{C}}$-正則性基準の拡張は可能か？
• RQ5 VMO条件におけるパrameter $\alpha_0$ は、解の高次可積分性および正則性を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、係数行列の対称部にVMO条件が成り立つ下で、発散型ストークス系 (1.1) の弱解 $u$ の勾配 $Du$ について、混合ノルム $L_{s,q}$-推定を証明している。
• 非発散型系 (1.4) に対しては、同じVMO仮定の下で、2階空間微分 $D_{ij}u$ についても $L_{s,q}$-推定を確立している。
• 新しい $\boldsymbol{\mathcal{C}}$-正則性基準が導出された：速度場 $u$ の $L_{s_k}$-ノルムが小さな放物的シリンダ内で十分に小さい場合、$u$ はホルダー連続的であり、したがって滑らかである。
• $\boldsymbol{\mathcal{C}}$-正則性基準は、可積分性指数 $s$ が臨界値 $d+2$ に近づく場合に有効であるというセリーンの正則性基準の臨界ケースへの拡張を示している。
• $s_k$ と $r_k$ の数列を用いた主 $L_p$-推定の反復的適用により、可積分性のブートストラップが達成され、最終的に $\frac{d}{s_{k_0}} + \frac{2}{s_{k_0}} < 1$ を満たす $s_{k_0}$ に対して $\nabla u$ の $L_{s_{k_0}}$-有界性が得られる。
• モレッジ空間の枠組みを用いて反対称部 $d_{ij}$ の振動を制御し、得られた推定を用いて主定理をナビエ＝ストークス系に適用可能とした。