[論文レビュー] Mixed powerdomains for probability and nondeterminism

Klaus Keimel, Gordon Plotkin|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2016

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 38被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、Kegelspitzen（抽象凸集合）とd-coneを用いて、領域的凸集合上の部分確率測度の自由代数として、通常の非決定性と確率的非決定性を統合する混合パワー領域を導入する。関数的表現と述語変換子の双対性を確立し、下部、上部、凸パワー領域において、整合性仮定のもとで状態変換子と述語変換子の間の双対性が成り立つ。

ABSTRACT

We consider mixed powerdomains combining ordinary nondeterminism and probabilistic nondeterminism. We characterise them as free algebras for suitable (in)equation-al theories; we establish functional representation theorems; and we show equivalencies between state transformers and appropriately healthy predicate transformers. The extended nonnegative reals serve as `truth-values'. As usual with powerdomains, everything comes in three flavours: lower, upper, and order-convex. The powerdomains are suitable convex sets of subprobability valuations, corresponding to resolving nondeterministic choice before probabilistic choice. Algebraically this corresponds to the probabilistic choice operator distributing over the nondeterministic choice operator. (An alternative approach to combining the two forms of nondeterminism would be to resolve probabilistic choice first, arriving at a domain-theoretic version of random sets. However, as we also show, the algebraic approach then runs into difficulties.) Rather than working directly with valuations, we take a domain-theoretic functional-analytic approach, employing domain-theoretic abstract convex sets called Kegelspitzen; these are equivalent to the abstract probabilistic algebras of Graham and Jones, but are more convenient to work with. So we define power Kegelspitzen, and consider free algebras, functional representations, and predicate transformers. To do so we make use of previous work on domain-theoretic cones (d-cones), with the bridge between the two of them being provided by a free d-cone construction on Kegelspitzen.

研究の動機と目的

• 計算モデルにおける通常の非決定性と確率的非決定性を統合する統一的な領域的枠組みを構築すること。
• 連続なdcpos上の凸集合による部分確率測度の自由代数として混合パワー領域を特徴づけること。
• 関数的表現を用いて、状態変換子と述語変換子の間の双対性を確立すること。
• d-coneと抽象確率的代数に関する先行研究を拡張し、自然な代数的法則を満たす混合非決定性を扱えるようにすること。
• 拡張された非負実数における真理値を用いて、確率的選択と非決定的選択を併用するプログラムの推論の基盤を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、Kegelspitzen（領域的抽象凸集合）を用い、抽象確率的代数と同値であるものとして、混合パワー領域をモデル化する。
• Kegelspitzenからd-coneを自由に構成し、d-coneに関する先行結果を活用して、測度に基づくパワー領域へ拡張する。
• 混合パワー領域は、確率的選択が非決定的選択に分配されるような部分確率測度の凸集合として定義され、$x +_r (y \cup z) = (x +_r y) \cup (x +_r z)$ という式を満たす。
• Kegelspitzenをd-coneへ埋め込む普遍的埋め込みを経て関数的表現を導出し、連続的・単調的・劣線形的・中間的関数の空間間の同型を可能にする。
• 述語変換子は、測度上の積分の下限と上限を用いて定義され、$\mathrm{PT}_{P,Q}(s)(g)(x) = [\inf_{\nu \in s(x)} \int \underline{g} \, d\nu, \sup_{\nu \in s(x)} \int \overline{g} \, d\nu]$ の形を取る。
• 状態変換子と述語変換子の間の双対性は、Kegelspitze半束同型を介して確立され、下部、上部、凸パワー領域において、ドメインが整合的である限り有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通常の非決定性と確率的非決定性を領域的枠組み内で代数的に統合する方法は何か？
• RQ2 非決定性と確率性を統合する混合パワー領域の関数的表現は何か？
• RQ3 混合非決定性の下で、状態変換子を用いて述語変換子をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 整合性が混合凸パワー領域における非決定性の文脈で果たす役割は何か？
• RQ5 d-coneフレームワークをKegelspitzenに適応することで、測度の直接的取り扱いを回避できるか？

主な発見

• 混合パワー領域は、連続なdcpos上の自由代数として特徴づけられ、確率的選択が非決定的選択に分配される式 $x +_r (y \cup z) = (x +_r y) \cup (x +_r z)$ を満たす。
• 状態変換子 $s: P \to \mathcal{P}\mathcal{V}_{\leq 1}Q$ の空間は、述語変換子 $\mathcal{L}_{\mathrm{mon},\subseteq,\rm{med}}(\mathcal{P}\mathbb{I}^{Q}, \mathcal{P}\mathbb{I}^{P})$ の空間と、$\mathrm{PT}_{P,Q}(s)(g)(x) = [\inf_{\nu \in s(x)} \int \underline{g} \, d\nu, \sup_{\nu \in s(x)} \int \overline{g} \, d\nu]$ の割当により同型である。
• この同型は下部、上部、凸パワー領域において成り立ち、凸の場合にはドメインが整合的でなければならない。
• 関数的表現は、Kegelspitzenをd-coneへ普遍的に埋め込むことで得られ、コーン理論的構成からの結果の移行が可能になる。
• 述語変換子は $\subseteq$-単調的、$\subseteq$-劣線形的、および中間的であることが示され、この同型のもとでこれらの性質は保存される。
• Kegelspitzenとd-coneを用いることで、測度の直接的取り扱いを回避し、混合非決定性のより抽象的かつモジュラーなアプローチを提供する。