[論文レビュー] Mixing time and cutoff for the weakly asymmetric simple exclusion process

Cyril Labbé, Hubert Lacoin|arXiv (Cornell University)|May 30, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、長さ $N$ の区間における弱く非対称な単純排他過程（WASEP）の混合時間について、粒子数 $k = \alpha N$ のもとで鋭い漸近的評価を確立し、非対称性の強さ $b = p - q$ に応じて二つの異なる定常状態に分かれる。$b \gg (\log k)/N$ のとき、混合はマクロな平衡時間 $\sim N/b$ で発生し、鋭いカットオフを示す。一方、$b \ll (\log k)/N$ のとき、局所的フラクチュエーションが平衡に達するまでの時間を待つ必要があり、その時間は $\sim N^2 \log N$ で、これもカットオフを示す。本研究は両定常状態における漸近的混合時間の解明に成功し、$b \sim (\log k)/N$ の臨界スケーリングについても仮説を提示する。結果は、対称的および強非対称排他過程に関する先行研究を拡張し、弱い非対称性がもたらす緩和ダイナミクスの正確な遷移を特定した。

ABSTRACT

We consider the simple exclusion process with $k$ particles on a segment of length $N$ performing random walks with transition $p>1/2$ to the right and $q=1-p$ to the left. We focus on the case where the asymmetry in the jump rates $b=p-q>0$ vanishes in the limit when $N$ and $k$ tend to infinity, and obtain sharp asymptotics for the mixing times of this sequence of Markov chains in the two cases where the asymmetry is either much larger or much smaller than $(\log k)/N$. We show that in the former case ($b \gg (\log k)/N$), the mixing time corresponds to the time needed to reach macroscopic equilibrium, like for the strongly asymmetric (i.e.\ constant $b$) case studied in [LL18], while the latter case ($b \ll (\log k)/N$) macroscopic equilibrium is not sufficient for mixing and one must wait till local fluctuations equilibrate, similarly to what happens in the symmetric case worked out in [Lac16b]. In both cases, convergence to equilibrium is abrupt: we have a cutoff phenomenon for the total-variation distance. We present a conjecture for the remaining regime when the asymmetry is of order $(\log k) / N$.

研究の動機と目的

• 有限区間における弱く非対称な単純排他過程（WASEP）の全変動距離の混合時間の正確な漸近的挙動を特定すること。
• 非対称性パラメータ $b$ に応じて、混合時間が対称的（$N^2 \log N$）から非対称的（$N/b$）の挙動に遷移する遷移領域を同定すること。
• 両定常状態でカットオフ現象が存在することを証明し、平衡への収束が急激であることを示すこと。
• $b \sim (\log k)/N$ の臨界定常状態における混合時間の未解決問題を、スケーリング挙動を仮説することで解決すること。

提案手法

• 区間長 $N$ に $k = \alpha N$ 個の粒子をもつ WASEP を分析し、右へのジャンプレートが $p = \frac{1}{2} + \frac{b}{2}$、$q = \frac{1}{2} - \frac{b}{2}$ で非対称であり、$N \to \infty$ のとき $b \to 0$ となる。
• カップリング技法とマルティングルール法を用いて、$b \gg (\log k)/N$ および $b \ll (\log k)/N$ の二つの異なる定常状態における混合時間の下界および上界を導出する。
• 連続時間マルティングルールの指数モーメントバウンドを用いて、粒子系のフラクチュエーションの尾部挙動を制御する。
• グランドカップリングの議論を用いて経路を比較し、平衡への収束における単調性を確立する。
• スーパーマルティングルールの拡散バウンドを用いて、過程のドリフトおよび二次変動を制御する。
• 条件付き期待値およびジャンプ増分のモーメントバウンドを用いて鋭い推定を導出し、カットオフの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非対称性 $b$ が $N \to \infty$ のとき消える場合に、WASEP の全変動距離の混合時間の正確な漸近的スケーリングは何か？
• RQ2 非対称性パラメータ $b$ が閾値 $(\log k)/N$ を越える際に、混合時間が対称的と非対称的定常状態の間でどのように遷移するか？
• RQ3 WASEP のマクロ的平衡および局所的平衡の両定常状態において、カットオフ現象は継続的に存在するか？
• RQ4 $b \sim (\log k)/N$ の臨界定常状態における混合時間の正しいスケーリングは何か？

主な発見

• $b \gg (\log k)/N$ のとき、混合時間は漸近的に $\sim N/b$ に一致し、マクロな平衡に達する時間と一致し、鋭いカットオフを示す。
• $b \ll (\log k)/N$ のとき、混合時間は $\sim N^2 \log N$ に一致し、局所的フラクチュエーションが平衡に達するまでの時間に対応し、カットオフ現象を示す。
• 両定常状態において、定常分布からの全変動距離が1から0へと急激に減少するため、カットオフ現象の存在が確認される。
• $b \sim (\log k)/N$ の臨界定常状態では、混合時間が $N^2 \log N / \log \log N$ のオーダーであると仮説され、両定常状態の間を補間する。
• 本研究は、$b$ の非退化スケーリングのすべてにおいて、$N$ が大きい極限での漸近的混合時間を解明し、SSEP や ASEP に関する先行研究を拡張した。
• 解析により、カットオフ挙動が非対称性の相対的強さに依存するが、対称的および非対称的極限の両方において安定であることが示された。