[論文レビュー] Mod p Hecke algebras and dual equivariant cohomology I: the case of $GL_2$

Cédric Pépin, Tobias Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、$p$-進体上の $GL_2$ の mod $p$ pro-$p$ Iwahori-Hecke代数の次元2の特異的で不可約なモジュールが、$̂{GL}_2$--equivariant $K$-理論および旗多様体 $̂{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ の交差コホモロジーとして実現されることを確立し、$̂{q}=0$ におけるDemazure作用素を通じて、Hecke代数の忠実な作用を構成することにより、$GL_2$ の mod $p$ 局所Langlands対応を実現する。この構成により、Hecke代数の中心が点のequivariant $K$-理論と同一視され、特異的 $̂{H}^{(1)}$-モジュールの圏からエタール $(\varphi,\Gamma)$-モジュールの圏への完全忠実関手が得られ、2次元ガロア表現と対応する。

ABSTRACT

Let $F$ be a p-adic local field and $G=GL_2(F)$. Let $\\mathcal{H}^{(1)}$ be the pro-p Iwahori-Hecke algebra of $G$ with coefficients in an algebraic closure of $\\mathbb{F}_p$. We show that the supersingular irreducible $\\mathcal{H}^{(1)}$-modules of dimension 2 can be realized through the equivariant cohomology of the flag variety of the mod p Langlands dual group of $G$.

研究の動機と目的

• $p$-進体上の $GL_2$ の次元2の特異的で不可約な $̂{H}^{(1)}$-モジュールが、Langlands双対群 $̂{GL}_2$ の旗多様体のequivariantコホモロジー不変量の部分商として実現されることを目的とする。
• $\mathcal{H}$ が $K^{\u0302{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上に忠実な作用を持つように構成し、古典的Demazure作用素を $̂{q}=0$ で拡張すること。
• 特異的 $̂{H}^{(1)}$-モジュールの圏から $k((t))$ 上のエタール $(\varphi,\Gamma)$-モジュールの圏への完全忠実関手を構成し、$GL_2$ の mod $p$ 局所Langlands対応を実現すること。
• Hecke代数 $\mathcal{H}$ の中心が、作用と基底環との同一視を通じて、点の $K$-理論と同型であることを証明すること。

提案手法

• 著者らは、代数の表現と $̂{q}=0$ におけるDemazure作用素の拡張を用いて、$K^{\u0302{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上に自然な $\mathcal{H}$-作用を構成する。
• 彼らは $̂{q}=0$ における拡張Demazure表現 $\mathscr{A}_{\mathbb{F}_p}^{\operatorname{nil}}(\mathbf{q})$ を定義し、その忠実性を証明し、これにより中心 $Z(\mathcal{H})$ が $K^{\u0302{GL}_2}(\text{pt})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ と同一視されることを示す。
• 構成には、$k[[t]][\varphi,\Gamma]$-モジュール構造を $\Delta(M)^*$ 上に持ち、特異的モジュールの構造を捉える歪み表現 $\mathscr{A}_{2,\mathbb{F}_p}$ が含まれる。
• $\Gamma$-作用を商 $\Delta(M) = (k[[t]][\varphi] \otimes_{k[[t]]} M)/\nabla(M)$ 上に定義し、重み $(k_0, k_1)$ を持つ torsion 標準的巡回モジュールを構成し、局所類体論を通じてガロア表現と関連付ける。
• 鍵となるリンクは、関手 $M \mapsto \Delta(M)^* \otimes_{k[[t]]} k((t))$ であり、これは次元2のエタール $(\varphi,\Gamma)$-モジュールを導き、完全忠実であることが示される。
• 逆対応 $\rho \mapsto \mathcal{M}(\rho)$ は、ガロアおよびHecke設定における重みと中心的特徴の比較により、元の $\mathcal{H}^{(1)}$-モジュールを回復することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $GL_2$ の次元2の特異的で不可約な $̂{H}^{(1)}$-モジュールは、旗多様体 $̂{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上の $̂{GL}_2$-equivariantコホモロジー理論の部分商として実現可能か？
• RQ2 $̂{q}=0$ における古典的Demazure作用素は、$\mathcal{H}$ が $K^{\u0302{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上に忠実な作用を持つように拡張可能か？
• RQ3 特異的 $̂{H}^{(1)}$-モジュールの圏から $k((t))$ 上のエタール $(\varphi,\Gamma)$-モジュールの圏への完全忠実関手は存在するか？
• RQ4 特異的 $̂{H}^{(1)}$-モジュールの中心的特徴および重みデータは、局所Langlands対応下で対応するガロア表現とどのように関係しているか？

主な発見

• $\mathcal{H}$ が $K^{\u0302{GL}_2}(\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{F}}_p})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上に作用するは、$̂{q}=0$ におけるDemazure作用素から一意に拡張され、忠実である。
• 中心 $Z(\mathcal{H})$ は $K^{\u0302{GL}_2}(\text{pt})_{\overline{\mathbb{F}}_p}$ と同型であり、Hecke作用と基底環との同一視を通じて、標準的同型が得られる。
• 関手 $M \mapsto \Delta(M)^* \otimes_{k[[t]]} k((t))$ は完全忠実であり、特異的 $̂{H}^{(1)}$-モジュールを次元2のエタール $(\varphi,\Gamma)$-モジュールに写像する。
• 対応 $M \mapsto V(M)$ は、不可約2次元 $̂{H}^{(1)}$-モジュールと、$̂{\overline{\mathbb{F}}_p}$ 上の不可約2次元 $̂{\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)}$-表現との間の双対性を誘導する。
• ガロア表現 $\rho = \operatorname{ind}(\omega_{2f}^h)$ で $b=1, i=0$ の場合、関連する $̂{H}^{(1)}$-モジュール $M$ は $\lambda(\operatorname{diag}(x_1,x_2)) = x_2^{h-1}$ を満たし、中心的特徴と一致し、逆対応 $\rho \mapsto \mathcal{M}(\rho)$ が確認される。
• $k[[t]][\varphi,\Gamma]$-モジュール $\Delta(M)$ は重み $(k_0, k_1) = (h-1, q-h)$ を持ち、$\Delta(M)^*$ 内の $\psi$-安定な格子が $D^\sharp$ であることが示され、モジュールの構造が確認される。