[논문 리뷰] Modelling share volume traded in financial markets

Vygintas Gontis|ArXiv.org|2002. 01. 28.

Complex Systems and Time Series Analysis참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Kaulakys-Meškauskas (KM) 모델을 일반화하여 $ \beta = 1/2 $ 포함한 $ S(f) \propto f^{-\beta} $ 형태의 파wer-라우 법칙 스펙트럼을 가진 자기유사적 시간 시리즈를 생성한다. 이를 위해 재귀 시간 과정을 AR(1)에서 AR(2)로 확장한다. 일반화된 이산 모델(GDM)은 금융 주식 거래량에서 관찰된 $ 1/f^{1/2} $ 스펙트럼을 성공적으로 재현하여 시장 마이크로스트럭처 분석을 위한 데이터 생성 메커니즘으로의 유효성을 입증한다.

ABSTRACT

A simple analytically solvable model exhibiting a 1/f spectrum in an arbitrarily wide frequency range was recently proposed by Kaulakys and Meskauskas (KM). Signals consisting of a sequence of pulses show that inherent origin of the 1/f noise is Brownian fluctuations of the average intervent time between subsequent pulses of the pulse sequence. We generalize the KM model to reproduce the variety of self-affine time series exhibiting power spectral density S(f) scaled as power of their frequency f. Numerical calculations with the generalized discrete model (GDM) reproduce power spectral density S(f) scaled as power of frequency 1/f^b for various values of b, including b =1/2 for applications in financial markets. The particular applications of the model proposed are related with financial time series of share volume traded.

연구 동기 및 목표

• 물리적으로 타당한 확률적 과정을 사용하여 금융 시장에서의 주식 거래량 통계적 성질을 모델링하기 위해.
• Kaulakys와 Meškauskas (KM)의 해석적으로 해를 구할 수 있는 $1/f$ 노이즈 모델을 일반화하여 다양한 파워-라우 법칙 스펙트럼 $ S(f) \propto f^{-\beta} $ 를 재현하기 위해.
• 일반화된 이산 모델(GDM)이 AR(2) 재귀 시간 역학을 통해 실제 금융 데이터에서 관찰된 $ \beta = 1/2 $ 파wer 스펙트럼을 재현할 수 있음을 입증하기 위해.
• 리투아니아 주식거래소에서의 실측 데이터와의 비교를 통해 모델을 검증하기 위해.

제안 방법

• 모델은 펄스 열 $ I(t) = \sum_k q_k \delta(t - t_k) $ 을 생성하며, 여기서 $ t_k $ 는 거래 시점이고 $ q_k $ 는 거래 크기이다.
• 거래 간 간격 $ \tau_k = t_k - t_{k-1} $ 는 AR(2) 확률 과정을 따르며, $ \tau_k = \tau_{k-1} + \alpha(\tau_{k-1} - \tau_{k-2}) - \gamma(\tau_{k-1} - \overline{\tau}) + \sigma \varepsilon_k $ 로 표현된다.
• 이산적 거래량 $ V_r $ 은 고정된 간격 $ \tau_d $ 동안 $ I(t) $ 를 적분하여 도출되며, $ V_r = \sum_{k} q_k $ 로, 구간 $ r $ 내의 펄스에 해당한다.
• 파워 스펙트럼 밀도 $ S(f) $ 는 $ V_r $ 의 이산 푸리에 변환을 통해 계산되며, $ f_s = (s-1)/T $, $ T = \tau_d n $ 이다.
• 모델은 $ \alpha, \gamma, \sigma, \overline{\tau} $ 등의 매개수 조정을 통해 실측 데이터의 $ \beta $-스케일링을 일치시켜 校정된다.
• 수치 시뮬레이션은 다섯 개의 실현 결과에 대해 $ S(f) $ 를 평균화하고, 해석적 예측 및 실측 데이터와 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 확률 모델이 금융 주식 거래량에서 관찰된 바와 같이 $ \beta = 1/2 $ 인 $ 1/f^{\beta} $ 파워 스펙트럼을 재현할 수 있는가?
• RQ2 재귀 시간 과정을 AR(1)에서 AR(2)로 확장함으로써 일반화된 이산 모델(GDM)에서 스펙트럼 지수 $ \beta $ 를 제어할 수 있는가?
• RQ3 GDM은 실제 주식 거래량 데이터, 특히 리투아니아 주식거래소 인덱스 LITIN에서의 장거리 상관관계를 어느 정도 재현하는가?
• RQ4 거래 간격의 기억성을 갖는 단순한 확률 과정이 금융 거래량 시리즈에서 관찰되는 $ \beta = 1/2 $ 스케일링을 설명할 수 있는가?

주요 결과

• AR(2) 재귀 시간 역학을 갖는 일반화된 이산 모델(GDM)은 $ \beta = 1/2 $ 포함 다양한 $ \beta $ 에 대해 $ S(f) \propto f^{-\beta} $ 를 성공적으로 재현한다.
• 수치 시뮬레이션에서 $ \sigma = 0.0002 $, $ \overline{\tau} = 0.01 $, $ \alpha = 0.95 $, $ \gamma = 0.0002 $, $ \tau_d = 1 $ 일 때 $ S(f) $ 에서 명확한 $ f^{-1/2} $ 파워 라이드 법칙이 나타나며, 해석적 예측값 $ S(f) = 2 \times 10^3 / f^{1/2} $ 와 일치한다.
• GDM이 생성한 거래량 시간 시리즈와 파워 스펙트럼은 리투아니아 주식거래소 인덱스 LITIN의 실측 데이터와 밀도 있게 일치하며, $ S(f) \approx 700 / f^{1/2} $ 로 나타난다.
• 모델은 주식 거래량의 장거리 상관관계가 주로 거래 횟수 $ N_r $ 에 의해 주도되며, 개별 거래 크기 $ q_i $ 의 약한 시간적 상관관계는 미미하다는 것을 확인한다.
• KM 모델의 AR(2) 확장은 다양한 $ \beta $ 에 걸쳐 $ f^{-\beta} $ 노이즈를 생성할 수 있는 조절 가능한 메커니즘을 제공하며, 금융 시계열에 대한 일반성의 근거를 마련한다.
• 간단한 매개수로 $ \beta = 1/2 $ 를 재현할 수 있다는 점은 $ 1/f^{1/2} $ 노이즈가 통계적 이상 현상이 아니라 거래 시점 과정의 기억성에 기인한 결과임을 시사한다.