[論文レビュー] Modified Euler approximation scheme for stochastic differential equations driven by fractional Brownian motions

Yaozhong Hu, Yanghui Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Hurstパrameter $H > \frac{1}{2}$ を持つ分数 Browm運動によって駆動される確率微分方程式のための修正されたEulerスキームを提案し、収束速度 $2H - \frac{1}{2}$ を達成した。これは古典的Eulerスキームの収束速度 $2H - 1$ よりも向上している。この手法は、分数およびMalliavin微積分を活用して精度を向上させ、$H \to \frac{1}{2}$ に近づくと標準的なBrown運動の収束速度 $\frac{1}{2}$ に近づく。

ABSTRACT

For a stochastic differential equation driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter $H> \frac12$ it is known that the classical Euler scheme has the rate of convergence $2H-1$. In this paper we introduce a new numerical scheme which is closer to the classical Euler scheme for diffusion processes, in the sense that it has the rate of convergence $2H-\frac12$. In particular, the rate of convergence becomes $\frac 12$ when $H$ is formally set to $\frac 12$ (the rate of Euler scheme for classical Brownian motion). The rate of weak convergence is also deduced for this scheme. The main tools are fractional calculus and Malliavin calculus. We also apply our approach to the classical Euler scheme.

研究の動機と目的

• 分数 Browm運動（$H > \frac{1}{2}$）によって駆動されるSDEに対する古典的Eulerスキームの非最適な収束速度を改善すること。
• 構造的および収束挙動の面で、拡散過程における古典的Eulerスキームに類似した数値スキームを開発すること。
• 特に $H = \frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2}$ に減少する、より高い収束速度 $2H - \frac{1}{2}$ を達成すること。
• 高度な確率解析的手法を用いて、提案スキームの弱収束速度を確立すること。

提案手法

• 古典的Euler離散化を、分数微積分を用いて導出された補正項を組み込むことで修正し、分数 Browm運動の長-range依存性をより正確に捉える。
• 分数微積分は、駆動する分数 Browm運動の非マルコフ的および自己相似的性質を扱うために用いられる。
• Malliavin微積分は、解の正則性を分析し、特に弱収束の観点から収束速度を導出するために適用される。
• 同じ解析フレームワークを適用することで、古典的Eulerスキームの分析も拡張され、収束挙動を比較可能にする。
• 修正されたスキームは、Euler法の直感的な構造を保ちつつ、特化した補正項を用いて収束を向上させるように構築されている。
• 収束速度の理論的見積もりは、分数 Browm運動の共分散構造とMalliavinの部分積分法に基づく推定式を用いて導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H > \frac{1}{2}$ の分数 Browm運動によって駆動されるSDEに対して、古典的Eulerスキームより速い収束速度を達成できる修正Eulerスキームを設計できるか？
• RQ2 構造的単純性を保ったまま、古典的Euler法に類似したスキームが達成できる最適な収束速度は何か？
• RQ3 $H \to \frac{1}{2}$ のとき、提案スキームの収束速度はどのように振る舞い、標準的な拡散過程の $\frac{1}{2}$ の収束速度を回復するか？
• RQ4 分数微積分およびMalliavin微積分は、このような数値スキームの収束速度を導出するために果たす役割は何か？
• RQ5 同じ解析フレームワークを用いて、比較のための古典的Eulerスキームの分析が可能か？

主な発見

• 提案された修正Eulerスキームは、$H > \frac{1}{2}$ の場合に、古典的Eulerスキームの $2H - 1$ よりも速い収束速度 $2H - \frac{1}{2}$ を達成した。
• H が $\frac{1}{2}$ に近づくと、新しいスキームの収束速度は $\frac{1}{2}$ に近づき、標準的Brown運動の古典的Eulerスキームの速度と一致する。
• 提案スキームの弱収束速度も確立されており、分布近似の観点からその頑健性が裏付けられた。
• 分数微積分は、分数 Browm運動に内在する長-range依存性を正確にモデル化可能である。
• Malliavin微積分は、解の滑らかさを分析し、精密な収束バウンドを導出するための必要な道具を提供する。
• 解析フレームワークは、古典的Eulerスキームに対しても成功裏に適用され、同じ理論的視点からその収束挙動が明らかにされた。