[論文レビュー] Modified Stancu-type Dunkl generalization of Szasz- Kantorovich-operators

M. ‎Mursaleen, Nasiruzzaman|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、線形関数を保存し、$[\frac{1}{2}, \infty)$ における近似精度を向上させる修正されたスタンツ型ダンクル一般化シュバルツ＝カンタロヴィチ作用素の導入を提案する。コロフキン型定理、モジュラスの連続性、および重み付き近似を用いて、より良い収束速度を達成する。主な貢献は、古典的および既存のダンクル変種と比較して、誤差推定が向上した新規作用素の構築である。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a modification of the Szasz-Mirakjan-Kantorovich operators as well as Stancu operators [9] (or a Dunkl generalization of modified Szasz-Mirakjan-Kantrovich operators [5]) which preserve the linear functions. These types of operators modification enables better error estimation than the classical Dunkl Szasz-MirakjanKantrovich as well as Stancu operators. We obtain some approximation results via well known Korovkin's type theorem, weighted Korovkin's type theorem convergence properties by using the modulus of continuity and the rate of convergence of the operators for functions belonging to the Lipschitz class

研究の動機と目的

• ダンクル微積分を用いて、シュバルツ＝カンタロヴィチ作用素およびスタンツ作用素を一般化する、新しい正の線形作用素のクラスの開発。
• 古典的および既存のダンクル型作用素と比較して、$[\frac{1}{2}, \infty)$ 上の関数における誤差推定と収束速度の向上。
• $C_{\zeta}[0,\infty)$ に属する関数について、コロフキン型定理、モジュラスの連続性、および重み付き近似を用いて近似結果の確立。
• 最近の修正シュバルツ＝ミラクジャン＝カンタロヴィチ作用素およびダンクル＝スタンツ作用素の研究を拡張し、両方の修正を統合すること。

提案手法

• 線形関数の保存を保証するため、$x \geq \frac{1}{2}$ に対して $r_n(x) = x - \frac{1}{2n}$ のシフトされた引数を用いて、修正作用素 $K_n^*(f;x)$ を定義する。
• パrameter $\mu \geq 0$ を用いて、ダンクル指数関数 $e_\mu(x)$ および一般化階乗 $\gamma_\mu(k)$ を用いて作用素を構築する。
• カントロヴィチ型積分修正を適用する：$K_n^*(f;x) = \frac{n}{e_\mu(n r_n(x))} \sum_{k=0}^\infty \frac{(n r_n(x))^k}{\gamma_\mu(k)} \int_{\frac{k+2\mu\theta_k}{n}}^{\frac{k+1+2\mu\theta_k}{n}} f\left(\frac{nt+\alpha}{n+\beta}\right) dt$。
• 連続関数の $[0,\infty)$ 上の収束を証明するために、コロフキンの定理および重み付きコロフキン理論を適用する。
• 第二階のモジュラスの連続性 $\omega_2(f;\delta)$ およびピートレの $K$-汎関数を用いて収束速度を確立する。
• 第二階のモジュラスの連続性および $K$-汎関数との比較により定量的推定を導出し、明示的な収束バウンドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的シュバルツ＝カンタロヴィチ作用素は、$[\frac{1}{2}, \infty)$ における近似精度を向上させるためにどのように修正可能か？
• RQ2 スタンツおよびダンクル一般化を組み合わせることで、既存の作用素よりも優れた収束特性が得られるか？
• RQ3 リプシッツクラスおよび $C_{\zeta}[0,\infty)$ に属する関数に対して、新規作用素の収束速度はいかほどか？
• RQ4 シフト $r_n(x) = x - \frac{1}{2n}$ の導入が、近似挙動および誤差バウンドに与える影響は何か？
• RQ5 ダンクルパラメータ $\mu$ は、収束速度および誤差推定にどの程度影響を与えるか？

主な発見

• 提案された作用素 $K_n^*(f;x)$ は線形関数を保存し、$K_n^*(1;x) = 1$ および $K_n^*(t;x) = x$ を満たす。
• 古典的ダンクルシュバルツ＝カンタロヴィチ作用素およびスタンツ作用素と比較して、$[\frac{1}{2}, \infty)$ における誤差推定がより良好である。
• $f \in C_B[0,\infty)$ の場合、収束速度は $\omega_2\left(f; \sqrt{\frac{(\frac{2n}{n+\beta}-2)x + \frac{2\alpha}{n+\beta} + \delta_{n,x}^*}{4}}\right)$ でバウンドされ、ここで $\delta_{n,x}^*$ は明示的に定義されている。
• 定量的推定が確立された：$\|K_n^*(f) - f\| \leq 2M\left\{ \omega_2(f; \sqrt{\cdot}) + \min(1, \cdot) \|f\| \right\}$、ここで $M$ は正の定数である。
• ピートレの $K$-汎関数は $K_2(f,\delta) \leq C \omega_2(f, \delta^{1/2})$ を満たし、収束解析において第二階のモジュラスの連続性の使用が可能になる。
• $\mu = 0$ の場合、作用素はダマン（2014）の修正シュバルツ＝ミラクジャン＝カンタロヴィチ作用素に還元され、$\alpha = \beta = 0$ の場合、それら作用素のダンクル一般化に還元される。